2. Перевірка значущості коефіцієнтів регресії

Експериментальні дослідження проводять для того, щоб знайти оцінки коефіцієнтів. Теоретичні значення деяких коефіцієнтів можуть бути рівними нулю. Значустість коефіцієнтів лінійної регресії перевіряють окремо для кожного коефіцієнта за допомогою критерію Стьюдента. Послідовність перевірки складається з таких кроків:

1. знаходимо дисперсію похибки визначення коефіцієнтів (дисперсія є однаковою для всіх коефіцієнтів):

, (9.5)

де - оцінка дисперсії функції відгуку; N, k – число спроб і повторень кожної спроби.

2) обчислюємо відношення абсолютного значення коефіцієнта регресії до середньоквадратичного відхилення похибки його визначення:

(9.6)

3) визначаємо число ступенів вільності:

(9.7)

4) обираємо рівень значущості (q =0,05);

5) у спеціальній таблиці для заданих і q знаходимо критичне значення t_кр.;

6) якщо обчислене за формулою (9.6) значення відношення більше від критичного ( ), то коефіцієнт можна вважати значущим. В протилежному разі можна прийняти нуль-гіпотезу, тобто коефіцієнт можна вважати статистично не значущим.

В математичному описі функції відгуку лишаються змінні, коефіцієнти регресії при яких є статично значущими.

Значущість коефіцієнтів квадратичної регресії перевіряють за тими самими правилами, що й лінійної.

У загальному випадку дисперсії похибок визначення коефіцієнтів квадратичної регресії мають обчислюватися для кожного коефіцієнта окремо:

(9.8)

В даній формулі застосовується вже відомі позначення, котрі приводять рівняння квадратичної регресії до лінійного вигляду.

3. Перевірка адекватності моделі

Коефіцієнти, які визначені за методом найменших квадратів, можуть не відповідати (бути неадекватним) спостережуваним значенням ендогенної величини . Тому перед використанням математичної моделі для аналізу досліджуваної системи потрібно переконатися в її адекватності даним експерименту.

Гіпотеза адекватності моделі перевіряється оцінюванням відхилень пе­редбачених значень функції відгуку від експериментально знайдених, усереднених за числом повторень в експериментальних точках факторного простору. Для оцінювання відхилень використовується критерій Фішера.

Найнадійніші результати перевірки гіпотези про адекватність математи­чної моделі спостережуваним даним дістають у рототабельних планах (повні та дробові факторні плани для лінійної регресії, рототабельні композиційні плани для квадратичних регресій), що забезпечують однакову точність передбачених значень функції відгуку в точках, що містяться на однаковій відстані від центра. Перевірку адекватності роблять у декілька етапів:

1) Обчислюють статистичну оцінку дисперсії адекватності :

(9.9)

де g – число членів апроксимуючого полінома ; – значення функції відгуку, обчислене за допомогою апроксимуючого полінома в j-й точці плану ; – експериментальне значення функції відгуку в j-й точці плану.

2) Знаходять значення F критерію Фішера:

(9.10)

3) Визначають число ступенів вільності і :

= N – g; (9.11)

= N(k– 1). (9.12)

4) Обираєть рівень значущості q (як правило, q = 0,05).

5) У спеціальній таблиці за заданими q , f₄ і f₅ знаходять критичне зна­чення параметра F_кр.

6) Якщо обчислене значення параметра F не перевищує табличного F_кр, тобто F<F_кр, то математичний опис функції відгуку рівнянням рег­ресії вважається адекватним. У противному разі гіпотеза про адекватність відкидається і модель вважається не адекватною процесу, що вивчається.

Зауважимо, що перевірка гіпотези про адекватність можлива при f₄>0, тобто коли число дослідних точок факторного простору більше від числа членів апроксимуючого полінома. Це необхідно враховувати як при визначенні структури апроксимуючого полінома, так і при виборі відпо­відного типу факторних планів.

Якщо гіпотеза про адекватність математичного опису досліджу­ваного процесу відхиляється, то необхідно або перейти до складнішої фор­ми рівняння регресії, або зменшити інтервали варіювання факторів в експе­рименті.

Зменшення інтервалів варіювання з метою досягнення адекватності математичної моделі спричинюється до зменшення коефіцієнтів регресії, а через це зростає ризик прийняти помилкову гіпотезу про статистичну незначущість деяких коефіцієнтів.

У загальному випадку інтервал варіювання вибирається з умови забезпечення адекватності математичного опису дос­ліджуваного процесу. Часто при виборі необхідних інтервалів варіювання проводяться попередні експрес-спроби, в яких крок варіювання становить 0,05 — 0,3 діапазону змінювання значень рівнів факторного простору.