2. Стандартний метод імітації дискретно розподілених випадкових величин

Стандартний алгоритм визначення індексу k, з допомогою якого обирається випадкова подія , реалізується згідно із схемою, зображеною на Рис. 7.1.

Розглянемо імітацію рівноймовірних подій, що утворюють повну групу: Відношення у такому разі має вигляд або Індекс події, що настає, визначається співвідношенням k = [n] + 1, де [n] — ціла частина числа. Виконується нерівність

Рис. 7.1. Схема алгоритму вибору індексу k

Існують два способи застосування схеми випробувань за «жеребку­ванням», що дають змогу моделювати довільні випадкові події.

3. Спеціальні методи імітації деяких дискретних розподілів

Загальний підхід імітації дискретно розподілених величин у деяких випадках може бути замінений спеціальними методами імітації, котрі ураховують специфічні особливості розподілів. Покажемо цю можливість для трьох розподілів.

Рівномірний дискретний розподіл має такий вигляд:

де k = 0, 1, 2,....

Для імітування цієї випадкової величини досить здійснити перетворення .

Геометричний розподіл імітується з допомогою перетворення

Справді, випадкова величина

має геометричний розподіл. Це підтверджують такі міркування.

Цей метод імітації геометрично розподілених випадкових величин є найефективнішим.

Для імітації випадкових величин, що мають розподіл Пуассона, найчастіше застосовується метод Тотчера.

Цей метод грунтується на твердженні, що випадкова величина X, яка визначається відношенням

розподілена за законом Пуассона з параметром .

Для генерування випадкової величини Х генеруємо РСП [0, 1] доти, доки не буде виконуватися нерівність

У більшості випадків для генерування розподілу Пуассона якраз і застосовується цей метод.

Питання для самоконтролю

1. З’ясуйте, коли виникає потреба в імітаційному моделюванні генерувати випадкові події.

2. Проаналізуйте стандартний метод імітації дискретної випадкової величини.

3. Для яких відомих вам дискретних розподілів має місце рекурентне співвідношення між ймовірностями сусідніх членів розподілу?

4. Поясніть перший і другий способи використання схеми випробувань за «жеребкуванням» для імітації незалежних і залежних подій.

5. Які переваги і які вади мають способи використання схеми випробувань за «жеребкуванням»?

6. Поясніть, чому і як використовуються несумісні у сукупності події в схемі випробувань за «жеребкуванням».

Тема 8

Тема 8. Генерування неперервних випадкових величин

План

1. Суть проблеми імітації неперервних розподілів

2. Стандартний метод імітації неперервних випадкових величин

3. Метод добору (відбракування) неперервних випадкових величин

4. Наближене формування розподілів неперервних випадкових величин

5. Генерування нормально розподілених випадкових величин

Література: [ 3, 5, 6].

1. Суть проблеми імітації неперервних розподілів

Важливим питанням у методі Монте-Карло є створення на ЕОМ випадкових чисел з довільним неперервним розподілом. Існує кілька способів перетворення РВП [0, 1] на інші розподіли. Найчастіше використовується спосіб, що грунтується на такій теоремі.

Теорема. Нехай — випадкова величина, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1]. Тоді випадкова величина X, яка є розв’язком рів­няння

, (8.1)

має щільність f (x).

Доведення теореми міститься в посібнику [1]. Теорема дає змогу сформулювати правило генерування випадкових чисел, що мають довільний неперервний розподіл:

1) виробляється випадкове число РВП [0, 1];

2) випадкове число з pозподілом f (x) є розв’язком рівняння

(8.2)

Таким чином, послідовність , що належить до РВП [0, 1], перетворюється на послідовність , яка має задану щільність розподілу f (x).