Исследование функций с помощью производной (точки экстремума, наибольшее (наименьшее) значения функции) Функция задана формулой

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений f: чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Критические точки – внутренние точки области, в которых ее производная равна нулю или не существует.

Правила вычисления производных: Таблица производных

;

х´= 1

Применяя изложенный выше метод поиска наибольшего и наименьшего значений функции, будем следовать алгоритму:

1) найдем производную данной функции; Вычисление производной, пример 12

2) приравняем ее к нулю;

3) выберем критические точки, лежащие внутри отрезка;

4) найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка;

5) из полученных чисел выберем наибольшее или наименьшее.

Пример 1.

В15.Найти наименьшее значение функции на отрезке [4; 6]

Решение:

1)Найдем производную функции :

2)Так как производная определена для любого х, остается решить уравнение

, х = 0 или х – 5 = 0. Значит, х = 0 и х = 5 – критические точки. 3) 3)Причем критическая точка х = 0 не принадлежит рассматриваемому отрезку, т.е. , х = 5 принадлежит, т.е. .

4) Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей данному отрезку, и на его концах, т.е. в точках 4; 5; 6:

5) Наименьшее значение достигается в точке 5 и равно -3. Коротко это записывается так: . В бланк ответов: -3

Исследование функций, примеры 1-8

Признак максимума и минимума функции: если в точке производная меняет знак с «+» на «-», то есть точка максимума, с «-» на «+», то – точка минимума.