3. Применить формулу Маклорена:

, т.е. ряд сходится в интервале

4. для всех ч имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме .

Таким образом,

Доказательство. Разложить в ряд функцию .

1)

2)

3. применить формулу Маклорена: , полученный ряд сходится на всей числовой прямой, т.е.

4. любая производная функции по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, по теореме имеем

Доказательство. Разложить в ряд функцию .

1)

2)

3. применить формулу Маклорена:

4) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1).

Замечание: Ряд называется биномиальным.

Доказательство. Разложить в ряд функцию . (методом алгебраического деления)

С уть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов: 1 1 - x

1 – x 1 + x + x² + x³ + …

x

x – x²

x²

x² – x³

x³

……….

Если применить к той же функции формулу Маклорена

,

то получаем:

……………………………….

Итого, получаем:

Рассмотрим способ разложения функции в ряд при помощи интегрирования.

С помощью интегрирования можно разлагать в ряд такую функцию, для которой известно или может быть легко найдено разложение в ряд ее производной.

Находим дифференциал функции и интегрируем его в пределах от 0 до х.

Доказательство. Разложить в ряд функцию

Разложение в ряд этой функции по формуле Маклорена было рассмотрено выше.

Теперь решим эту задачу при помощи интегрирования.

При получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:

Доказательство. Разложить в степенной ряд функцию .

Применим разложение в ряд с помощью интегрирования.

П одинтегральная функция может быть разложена в ряд методом алгебраического деления: 1 1 + x²

1 + x² 1 – x² + x⁴- …

- x²

- x² – x⁴

x⁴

x⁴ + x⁶

………….

Тогда

Окончательно получаем:

Доказательство. Разложить в степенной ряд функцию .

Положив в формуле и заменив х на (-х²), получим равенство:

. Тогда

, или

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Так как . Получаем:

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Так как , то

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Так как , заменив х на , получаем