1.3. Таблица оригиналов и изображений

Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между не­которыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изобра­жениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позво­ляющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть, в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авторы В.А. Диткин и П.И. Кузнецов).

Таблица оригиналов и изображений

№	Оригинал	Изображение
1	1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

§2. Обратное преобразование лапласа

2.1Теоремы разложения

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению находить соответствующий ему оригинал .

Теорема 2.1. Если функция в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана:

,

то функция

( )

является оригиналом, имеющим изображение , т.е.

.

Примем эту теорему без доказательства.

Пример 2.1. Найти оригинал , если ; .

Решение: Имеем

Следовательно, на основании теоремы 33.1 , .

Запишем лорановское разложение функции в окрестности точки :

, где , т.е.

Следовательно, , т.е. , .

Теорема 2.2. Если - правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) , то функция

(2.1)

является оригиналом, имеющим изображение .

Отметим что дробь должна быть правильной (степень многочле­на ниже степени многочлена ); в противном случае не выпол­няется необходимый признак существования изображения (п. 32.1), т. е. не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

(2.2)

где (k=1,2,…,n) – неопределённые коэффициенты. Для определе­ния коэффициента этого разложения умножим обе части этого равен­ства почленно на :

.

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

.

Итак . Аналогичным путем (Умножая обе части равенства (2.2) на ) найдем

, i = 2,...,n.

Подставляя найденные значения в равенство (2.2), получа­ем

.

Так как по формуле (2.3)

, , …, ,

то на основании свойства линейности имеем

.

Замечание. Легко заметить, что коэффициенты (k=1,2,…,n) определяются как вычеты комплексной функции в простых полюсах (в ЭТФКП формула (4.4)):

.

Можно показать, что если - правильная дробь, но корни (нули) знаменателя имеют кратности со­ответственно, то в этом случае оригинал изображения определяется

. (2.3)

Теорему 2.2 можно сформулировать следующим образом:

Теорема 2.3. Если изображение является дробно-рациональной функцией от и - простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой

. (2.4)