Элементы операционного исчисления

Операционное исчисление играет важную роль при решении приклад­ных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление - один из методов математического анали­за, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциаль­ных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраиче­ских задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следу­ющей условной схемы решения задачи.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям - их изображениям.

2. Над изображениями производят операции, соответствующие задан­ным операциям над самими функциями.

3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями, возвращаются к самим функциям.

В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

§ 1. Преобразование лапласа

1.1. Оригиналы и их изображения

Основными первоначальными понятиями операционного исчисления являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть - действительная функция действительного переменного (под будем понимать время или координату).

Функция называется оригиналом, если она удовлетворяет сле­дующим условиям:

1. при .

2. - кусочно-непрерывная при , т. е. она непрерывна или имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси таких точек лишь конечное число.

3. Существуют такие числа и , что для всех выпол­няется неравенство , т. е. при возрастании функция может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется показателем роста .

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момен­та времени; удобнее считать, что в момент . Третьему условию удо­влетворяют ограниченные функции (для них можно положить ), степенные (n>0) и другие (для функций вида условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функция (не удовлетворяет второму условию).

Замечание. Функция может быть и комплексной функцией дей­ствительно переменного, т. е. иметь вид ; она считается оригиналом, если действительные функции и являются оригиналами.

Изображением оригинала называется функция комп­лексного переменного , определяемая интегралом:

(1.1)

Операцию перехода от оригинала к изображению называ­ют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом и записывается в виде или (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения - соответствующими большими буквами).

Теорема 1.1 (существование изображения). Для всякого оригинала изо­бражение существует (определено) в полуплоскости , где - показатель роста функции , причем функция является аналитической в этой полуплоскости ( ).

Докажем первую часть теоремы. Пусть произволь­ная точка полуплоскости (см. рис. 91). Учитывая, что , находим:

так как и .

Таким образом,

. (1.2)

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (1.1), т. е. изображе­ние существует и однозначно в полуплоскости .

Следствие 1.1 (необходимый признак существования изображения). Если функция является изображением функции , то .

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (1.2), ко­гда .

Так как - аналитическая функция в полуплоскости , то при по любому направлению. Отсюда, в частности, следует, что функции , не могут быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции следует, что все ее особые точки должны лежать левее прямой или на самой этой прямой. Функция , не удовлетворяющая этому условию, не является изображением функции . Не является изображением, например, функ­ция (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема 1.2 (о единственности оригинала). Если функция служит изо­бражением двух оригиналов и , то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

(Примем без доказательства)

Пример 1.1. Найти изображение единичной функции Хевисайда (см. рис. 92).

Решение: По формуле (1.1) при ( ) находим: ,

т.е. , или, в символической записи, , или .

Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записы­вать в виде , подразумевая, что

Пример 1.2. Найти озображение функции , где а – любое число.

Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (1.1) имеем:

,

если . Таким образом,

( ). (1.3)

Пример 1.3. Найти изображение функции .

Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид:

(т.к. ), т.е.

. (1.4)

Замечание. Функция является аналитической не только в полуплоскости , где интеграл (1.1) сходится, а на всей ком­плексной плоскости p, кроме точки p=a. Такая особенность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным, как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно вы­ражается интегралом (1.1).