5. Відхилення теоретичного розподілу від нормального. Асиметрія та ексцес

Правило трьох сигм дійсно є лише наближеним правилом перевірки відповідності емпіричного розподілу нормальному закону. Крім нього, існують ще деякі показники, що вказують на величину відмінності від теоретичного закону розподілу. Це – показники асиметрії та ексцесу. Обчисливши коефіцієнти асиметрії та ексцесу (формули для їх обчислення ми не наводитимемо) і порівнявши їх із деякими нормативними значеннями, роблять додаткові висновки про відмінність розподілу від нормального. Для нормального розподілу ці показники дорівнюють 0.

Асиметрія графічно виражається в тому, що порушується симетричність кривої Гауса. Крива може мати більш “довге” праве (правостороння асиметрія) або ліве (лівостороння асиметрія) крило (Рис. 4).

Правостороння асиметрія Лівостороння асиметрія Гостровершинний розподіл Плосковершинний розподіл

(додатна) (від’ємна) (додатний ексцес) (від'ємний ексцес)

Рис. 4

Рис. 5

Я

Рис. 4

кщо ж змінюється форма вершини кривої, то йдеться про ексцес: додатний, коли крива має “гостру” вершину, і від’ємний – коли вершина плоска (Рис. 5) або вершин навіть дві.

Існують, звичайно, і більш точні способи перевірки наявності нормального розподілу у вибірці. Це спеціальні статистичні методи, які називаються критеріями узгодження (один із них – критерій Пірсона).

Зауважимо, що окрім нормального закону розподілу, в природі існує багато інших, наприклад, біноміальний, поліноміальний, експоненціальний, рівномірний, геометричний і т.д. Цікаво, що в природі, техніці цілий ряд процесів перебуває у відповідності до цих теоретичних розподілів. Так, наприклад, за експоненціальним законом відбуваються такі явища як радіоактивний розпад речовини, зміна атмосферного тиску в залежності від висоти над рівнем моря, розмноження бактерій в залежності від часу, приріст деревини тощо. У статистиці до того ж розглядається цілий ряд законів, названих іменами тих вчених, які вивчали й досліджували властивості цих розподілів (наприклад, t - розподіл Стьюдента, розподіл Пуассона та ін.)

Взагалі, нормально розподілені випадкові величини поширені на практиці. Пояснення цьому факту дав видатний російський математик О.М. Ляпунов (1857-1918), сформулювавши центральну теорему теорії ймовірностей. Наслідок з цієї теореми стверджує: якщо випадкова величина Х є сумою великої кількості взаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму незначний, то Х має розподіл, близький до нормального.

Природним є запитання: навіщо знати закон розподілу досліджуваної величини? Відповідь на це питання досить проста. У природі існує безліч процесів, які відбуваються за певними законами. Щоб вивчати ці процеси, необхідно знати властивості відповідних законів. Тому й перевіряють наявність відповідності практичного розподілу певному теоретичному закону. Зокрема, за нормальним законом розподіляється велика кількість різноманітних ознак, які становлять інтерес для вивчення у фізичній культурі. Це має місце, якщо на досліджувану ознаку впливає велика кількість не пов’язаних між собою факторів, і вибірки при цьому досить великі за об’ємом. Після первинної обробки числової інформації, перед тим як проводити певні порівняльні операції, обов’язково з’ясовують закон розподілу. В залежності від цього застосовують відповідні математико-статистичні методи. Це − істотний момент досліджень, оскільки некоректне застосування методів не дасть достовірних результатів.