4. Нормальний розподіл випадкової величини. Властивості нормальної кривої. Правило 3σ

Що собою представляє нормальний розподіл випадкової величини?

Коротко його можна охарактеризувати так: нормальний розподіл дискретної випадкової величини, це така відповідність між значеннями випадкової величини та їх імовірностями, за якої найбільша ймовірність відповідає деякому середньому значенню − а. В міру того, як значення варіантів x_і віддаляються від а в обидва боки, відповідні значення ймовірності Р(х_і) плавно зменшуються. Найменші та найбільші значення x_і мають найменшу ймовірність.

Графічно нормальний розподіл представлений певною кривою, що має характерну форму дзвона і називається нормальною кривою Гауса (Рис.2). Властивості нормального закону досліджував німецький математик Карл Гаус.

Зауважимо, що математичне сподівання наближено дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини , яка спостерігається (p_i-ймовірності; n_i-частоти).

Сформулюємо основні властивості нормальної кривої.

1. Вершина кривої завжди відповідає деякому середньому значенню випадкової величини − а. Величина а називається математичним сподіванням і дорівнює сумі добутків усіх можливих значень дискретної випадкової величини на їх імовірності.

2. Форма кривої (висота вершини і крутизна кривої) визначається величиною середнього квадратичного відхилення: чим менше розсіювання варіантів − σ навколо а, тим вища вершина й крутіша крива; чим фактор розсіювання − більший, тим нижча вершина, а крива плоскіша.

3. П

   Рис. 2

   лоща під кривою дорівнює 1. Це відображає той факт, що сума ймовірностей усіх можливих значень випадкової величини становить 1.

4. Нормальний розподіл цілком визначається двома параметрами: математичним сподіванням − а і середнім квадратичним відхиленням − σ.

5. Якщо початок координат перенести в точку а, а за одиничний відрізок масштабу взяти величину σ, то нормальна крива називатиметься нормованою.

6. Площа під нормальною нормованою кривою розподіляється таким чином: на проміжку а σ міститься 0,6828 (68%) усієї площі;

   на проміжку а 2σ міститься 0,9545 (95%) усієї площі ;

на проміжку а 3σ міститься 0,9973 (99%) усієї площі (Рис. 3).

Виходячи з останньої властивості, можна стверджувати: ймовірність того, що відхилення значень нормально розподіленої випадкової величини за модулем буде перевищувати потроєне середнє квадратичне, дорівнює різниці:

1

Рис. 3

−0,9973=0,0027, тобто є малоймовірною подією. В цьому є суть правила, яке має назву правила трьох сигм.

На практиці правило трьох сигм використовують для наближеної перевірки відповідності емпіричного розподілу нормальному закону і формулюється так:

якщо розподіл досліджуваної випадкової величини невідомий, але під кривою Гауса на проміжку а 3σ міститься 0,9973 всієї площі, то є підстави стверджувати, що дана величина розподілена нормально.