§2. Умножение чисел в десятичной системе счисления

Подобно тому как сложение чисел в десятичной системе счисления основано на таблице сложения, дающей суммы однозначных чисел, умножение основано на таблице умножения, дающей произведение таких чисел.

Если надо умножить число

x= a_k+10^k+…+a₁∙10+a₀

на однозначное число y, то, пользуясь дистрибутивностью и ассоциативностью умножения, получаем:

x∙y = (a∙10^k+…+a₁∙10+a₀) ∙y=(a_k∙y) ∙10^k+…+(a₁∙y) ∙10+a₀∙y.

После этого по таблице умножения заменяем все произведения a_s∙y, 0≤s≤k соответствующими значениями a_s∙y=b_s∙10+c_s и получаем выражение

xy=(b_k∙10+c_k) ∙10^k+(b_k-1∙10+c_k-1) ∙10^k-1+(b₁∙10+c₁) ∙10+b₀∙10+c₀=

=b_k∙10^k+1+(c_k+bk-1) ∙10^k+…+(c₁+b₀) ∙10+c₀.

Наконец, пользуясь таблицей сложения, заменяем суммы b_s+c_s+1, 0≤s≤k, s=0,1,…, k, их значениями. Если, например, c₀ однозначно, то последняя цифра произведения равна m₀, а к скобке (c₁+b₁) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получаем десятичную дробь числа xy.

Мы разобрали умножение на однозначные числа. Теперь рассмотрим умножение на числа вида 10^r. Так как 10^r ∙10^s=10^r+s, то в силу ассоциативности и дистрибутивности умножения

x∙10^r=(a_k∙10^k+…+a₀) ∙10^r=a_k∙10^k∙10^r+…+a₀∙10^r=

=a_k*10^k+r+…+a₀*10^r+0*10^r-1+…+0.

Таким образом, десятичная запись числа x∙10^r получается из десятичной записи числа x дописыванием справа r нулей. Например, 245∙10⁴=2 450 000.

Умножение на число y∙10^r в силу ассоциативности сводится к умножению на однозначное число y и на число 10^r. Например,

28∙2000=28∙2∙10³=56∙10³=56 000.

Наконец, рассмотрим умножение многозначных чисел друг на друга. В силу дистрибутивности и ассоциативности умножения

x∙ (b_s∙10^s+…+b₀)=(xb₀) ∙10^s+…+xb₀.

Последовательно умножая число x на однозначные числа b_s, …, b₀, а потом на 10^s, …, 1, получим слагаемые, сумма которых и равна xy. Например:

28∙62=28(60+2)=28∙60+28∙2=

=(20+8) ∙60+(20+8) ∙2=(20∙6∙10+8∙6∙10)+

+(20∙2+8∙2)=(1200+480)+(40+16)=

=1680+56=1736

Обычно такое умножение записывают «в столбик»:

28

62

56

168

1736

Во II классе умножение выполняют устно, причем рассматривается лишь умножение однозначных чисел, двузначного на однозначное и однозначного на двузначное. При этом изучается таблица умножения. Как и для сложения, полезно рассмотреть различные свойства таблицы умножения. Можно задавать учащимся вопросы: на сколько увеличиваются числа при движении слева направо в строке с заголовком 2? А в строке с заголовком 5? Какое число идет в столбце с заголовком 8 после числа6? А до этого числа? Такие упражнения будут способствовать активному усвоению таблицы умножения.

Письменно умножение выполняют, начиная с III класса. Сначала рассматривают числовые примеры, выполняемые на основе свойств умножения, потом – умножение на 10, 100, 1000 и т.д., затем – на круглые числа (т.е. на числа вида 40, 700 и др.) и, наконец, на двузначные и трехзначные числа. Разумеется, изложение ведется не в буквенных обозначениях, а на конкретных числовых примерах. В IV класса к этому вопросу более не возвращаются.