Тема 8 аналитические вычисления
Цель работы: освоить навыки аналитического вычисления производной и неопределенного интеграла.
В аналитических вычислениях используются специальные символьные переменные. Создадим символьную переменную.
Введите строку syms x; . Встроенная функция syms создает символьную переменную х.
Значением символьной переменной могут быть не только буквенные выражения, но и числа, при этом арифметические операции будут выполнятся с произвольной точностью.
Нажмите клавишу Enter для завершения создания символьной переменной.
Найдем производную функции sin(x)*x.
Введите строку y=diff(sin(x)*x);. Встроенная функция diff вычисляет производную функции sin(x)*x .
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится найденная производная cos(x)*x+х.
Чтобы вычислить вторую производную, выполните следующие шаги:
Наберите на клавиатуре строку y=diff(sin(x)*x,2); . Встроенная функция diff вычисляет производную порядка 2 функции sin(x)*x .
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится вторая производная введенной функции (рис.20).
Рис.
20. Вычисление производной
Найдем неопределенный интеграл.
Введите строку y=int(log(x)*x); . Встроенная функция int вычисляет неопределенный интеграл от функции log(x)*x , где log(x) возвращает логарифм x.
Н ажмите клавишу Enter. В окне программы появится результат вычислении интеграла (рис.21).
Рис.
21. Вычисление интеграла
Попробуем найти интеграл с бесконечными пределами.
Наберите на клавиатуре строку y=int(exp(-x),0,inf); .Функция int вычисляет интеграл от функции exp(-x), т.е. от экспоненты, в пределах интегрирования от 0 до бесконечности, которая представляется аргументом inf.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится результат вычислении интеграла 1.
Для расчета кратных неопределенных интегралов достаточно несколько раз воспользоваться функцией int.
Символьные операции
Сначала упростим выражение.
Введите строку y=simplify(exp(log(x))); . Встроенная функция simplify (Упростить) упрощает выражение exp(log(x)).
Н
ажмите
клавишу Enter. В окне программы появится
результат упрощения выражения 1 (рис.22).
Рис.
22. Аналитические операции с выражениями
Рис.
23. Аналитическое
обращение
матрицы
Разложим математическое выражение на простые множители.
Наберите на клавиатуре строку y=factor(x^2-1). Встроенная функция factor (разлагать на множители) разлагает выражение x^2-1 на простые множители.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится результат разложения (х-1)^(х+1).
Чтобы разложить математическое выражение по степеням полинома, выполните следующие шаги:
Введите строку y=collect((x-1)*(x+3)); . Встроенная функция collect (Комплектовать) разлагает выражение (x-1)*(x+3) по степеням полинома.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится результат аналитических вычислений.
Попробуем аналитически обратить матрицу:
Наберите на клавиатуре строку syms y z k; для создания символьных переменных y,z и k.
Нажмите клавишу Enter.
Введите строку A=[x y;z k] чтобы создать матрицу из символьных переменных.
Нажмите клавишу Enter.
Наберите на клавиатуре строку B=inv(A). Встроенная функция inv обращает матрицу А.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится результат обращения матрицы (рис.23).
Аналитическое решение алгебраических и дифференциальных уравнений
Найдем символьное решение алгебраического уравнения:
Введите строку t=solve(‘x^3-z*x=0’,x) . Встроенная функция solve (Вычислять) решает уравнение x^3-z*x=0 относительно переменной x.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится аналитическое решение введенного уравнения (рис.24).
Д
ля
решения системы алгебраических уравнений
следует указать данные уравнения в
качестве
Рис.
24. Аналитическое решение алгебраического
уравнения
Рис.
25. Аналитическое решение дифференциального
уравнения
аргументов функции solve (Вычислить).MATLAB в отличии от программы Mathcad позволяет очень просто находить символьное решение дифференциальных уравнений в форме Коши, т.е. вида y’(x)=f(y,x).
Решим уравнение y’(x)=y(x)+sin(x):
Наберите на клавиатуре строку t=dsolve(‘Dy= y+sin(x)’,’x’) . Встроенная функция dsolve аналитически решает дифференциальное уравнение Dy= y+sin(x), в котором символ D означает взятие производной, относительно переменной.
Нажмите клавишу Enter. В окне программы появится аналитическое решение введенного дифференциального уравнения x (рис.25).
В символьном решении уравнения присутствует строка, означающая произвольную постоянную.
Следует заметить, что функция dsolve позволяет решать и системы дифференциальных уравнений, которые нужно вводить в качестве аргументов данной функции.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дэбни Дж., Хартман Т. Simulink 4.0. Секреты мастерства/Пер. с англ. М.Л.Симонова. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. 233 с.
2. Потемкин В.Г. Инструментальные средства MatLab 5.x. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. 448 с.
3. SIMULINK. Simulink Reference. Version 5.0 The MathWorks, Inc., July 2002.578 p.
4. Лурье М.С., Лурье О.М. Применение системы Matlab при изучении курса электротехники. Монография. СибГТУ, Красноярск, 2005, 200 с.
5. Вешеневский С.Н. Расчет характеристик и сопротивлений для электродвигателей. М.: Госэнергоиздат, 1954, 327 с.
6. Чиликин М.Г. Общий курс электропривода. М.: Госэнергоиздат, 1960, 472 с.
7. Черных И.В. Simulink среда создания инженерных приложений. — М.:ДИАЛОГ - МИФИ, 2004. — 496 с.
8. Постановка и решение электроэнергетических задач исследования операций /Авакумов В.Г. – Киев: Вища школа, 1983. – 240 с.
9. Щукин Б.Д., Лыков Ю.Ф. Применение ЭВМ для проектирования систем электроснабжения. М.:Энергоатомиздат, 1982. -164 с.
10. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1980. – 208 с.
11. Костин В.Н. Оптимизационные задачи електроенергетики: Учеб. пособие. – СПб.: СЗТУ, 2003. – 120 с.
12. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2001. – 480 с.
13. Капустин В.Ф. Практические занятия по курсу математического програм-мирования. – Л.: Изд. Ленинград. ун-та, 1976. – 192 с.
14. Дьяконов В. SIMULINK 4. Специальный справочник. – СПб.: Питер, 2002. – 528 с.