1.2.2. Управление по отклонению

Структурная схема, представленная на рис. 1.1.в, трансформируется в структурную схему, представленную на рис. 1.2а.

Динамические свойства одноемкостного ОУ, снабженного регулятором, описываются ДУ

, (1.1а)

где Т_а – время разгона объекта регулирования (характеризует его инерционность, определяемую размерами или емкостью),

k_c – коэффициент самовыравнивания (характеризует величину отклонения регулируемой величины от исходного значения при нанесении возмущения).

Свойства регулятора описываются, в случае безынерционного регулятора, алгебраическим уравнением

, (1.1б)

а в случае инерционного регулятора дифференциальным уравнением

, (1.1в)

где и – постоянная времени регулятора и коэффициент усиления его.

а	б
Рис. 1.2. Структурная схема реализации принципа управления по отклонению

Будем считать, что сигнал задания (т.е. уравнения динамики записаны фактически для отклонений управляемой величины ). В этом случае структурная схема может быть упрощена так, как это представлено на рис. 1.2б:

Объединяя уравнения динамики ОУ и регулятора (1.1) получим ДУ динамики замкнутой САУ, которое, для случая безынерционного регулятора ( ), примет вид

, (1.2а)

а, для случая инерционного регулятора, будет записываться в виде

. (1.2б)

Изменение регулируемой величины после нанесения возмущения на ОУ называется движением системы. Оно является суперпозицией (наложением) свободного и вынужденного движений системы.

Свободное (иначе переходное или собственное) движение связано с затухающими процессами в отсутствии внешних воздействий, но при ненулевых начальных условиях (они ненулевые, поскольку возмущение вывело систему из состояния равновесия).

Вынужденное движение описывает систему после окончания (затухания) свободного движения, т. е. состояние равновесия и, тем самым, определяет величину статического отклонения.

Математически эти движения соответствуют двум слагаемым в решении неоднородного ДУ:

свободное движение – общему решению однородного дифференциального уравнения;

вынужденное движение – частному решению неоднородного уравнения (предполагается, что и, соответственно, все производные по времени в ДУ равны нулю).

Независимо от инерционности регулятора, вынужденное движение определяется выражением

. (1.3)

Из (1.3) видно, что с ростом коэффициента передачи регулятора величина остаточного отклонения уменьшается, т.е. точность системы увеличивается.

Выражение для свободного движения будет существенно отличаться для случаев безынерционного и инерционного регуляторов. В первом случае оно имеет вид

, (1.4а)

Где – корень характеристического уравнения

(1.4б)

Если λ<0, то можно ввести обратную ей величину

, (1.4в)

которая называется постоянной времени ОУ.

Очевидно, что вид свободного движения принципиально не изменяется по сравнению со случаем объекта без регулятора, лишь происходит уменьшение величины постоянной времени объекта , где:

(1.4г)

т.е. переходной процесс затухает быстрее.

Для случая САУ с инерционным регулятором

, (1.5а)

где – корни характеристического квадратного уравнения

.(1.5б)

Для этого случая характер движения принципиально изменяется в зависимости от того, будут корни характеристического уравнения вещественными (монотонный характер переходного движения) или комплексно-сопряженными числами (колебательный характер), т.е. от знака дискриминанта уравнения. Дискриминант является положительным, если выполняется неравенство

. (1.6)

Если это условие не выполняется, то корни уравнения – комплексно-сопряженные числа , где мнимая часть β определяет циклическую частоту колебаний

, (1.7)

а значит и период затухающих колебаний согласно соотношению

. (1.8)

Дополнительно отметим, что принцип замкнутого управления по отклонению позволяет обеспечивать управление неустойчивых ОУ ( ). Действительно, свободное движение затухает и система является устойчивой, если вещественная часть корней α характеристического уравнения является отрицательной. Это автоматически выполняется для устойчивого объекта ( ), но может выполняться и при управлении неустойчивым объектом ( ) если выполняется

(1.9)

Это условие означает, что для управления неустойчивым ОУ регулятор должен иметь достаточно высокий коэффициент усиления и достаточно малую инерционность