1. Определение шага равномерной дискретизации

1.1. С помощью интерполирующих многочленов Лагранжа.

В процессе дискретизации непрерывная функция , имеющая ограниченных производных, аппроксимируется многочленом -й степени. В данном случае используется интерполирующий способ восстановления.

Выбор системы базисных функций в составе аппроксимирующего полинома во многом определяется требованием обеспечения простоты технической реализации аппаратных (программных) средств дискретизации и восстановления сигнала.

Если базисные функции выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называется интерполирующим.

Для реализации интерполирующих методов необходима задержка сигнала на интервал интерполяции.

При замене функции совокупностью отчетов основная задача заключается в том, чтобы на интервале преобразования взять их не более чем требуется для восстановления исходного сигнала с заданной точность в соответствии с выбранным критерием качества приближения.

Задача обеспечения минимальной погрешности при восстановлении сигнала на практике не ставится. Обычно указывается ее допустимое значение .

Погрешность восстановления функции многочленом на каждом участке аппроксимации определяется остаточным членом :

.

Следовательно, шаг дискретизации должен быть выбран из условия, что

.

Выбор аппроксимирующего многочлена более высокой степени при малой допустимой погрешности обеспечивает меньшее число отсчетов, однако при этом существенно возрастает сложность технической реализации метода. Поэтому обычно ограничиваются многочленами нулевой, первой и второй степеней (ступенчатая, линейная и параболическая аппроксимация соответственно).

Ограничение на число членов аппроксимирующего полинома обычно не позволяет обеспечить заданную точность воспроизведения на всем интервале преобразования. Поэтому его разбивают на участки аппроксимации, и на каждом из них воспроизведение осуществляют аппроксимирующим полином, причем длительность участков аппроксимации может быть различной. В случае использования интерполяционного метода восстановления многочленом ненулевой степени на участке аппроксимации может размещаться несколько отсчетов.

Интерполирующий многочлен Лагранжа при равномерной дискретизации может быть записан в виде

,

где

, , .

Значение остаточного члена :

,

где - максимальный во всем интервале преобразования модуль производной сигнала .

1.1.1. Интерполирующие многочлены Лагранжа нулевой степени

Определим шаг равномерной дискретизации на основе интерполирующих многочленов Лагранжа нулевой степени. Значение восстанавливающей функции в любой момент времени на каждом -том интервале принимается равным отсчету .

.

Максимальное значение пропорционально шагу дискретизации. Оно не должно превышать . Отсюда условие, определяющее шаг дискретизации:

.

Графики исходного непрерывного сигнала и восстановленного сигнала представлены на рисунке 3.1.