Лабораторная работа № 2

“Исследование случайных сигналов”.

Цель. Исследование и изучение поведения случайных сигналов.

Задание.

1) Исследование временной функции автокорреляции.

Определение временной функции автокорреляции для гармонического сигнала при заданных параметрах амплитуды, циклической частоты и начальной фазы сигнала.

Нарисовать графическое представление исходного гармонического сигнала и временной функции автокорреляции; доказать, что величина временной функции автокорреляции не зависит от величины начальной фазы сигнала .

2) Исследование случайного процесса.

Исследование стационарного случайного процесса с постоянной спектральной плотностью , где величина и начальное значение полосы частот задаются студентом.

Проследить за изменением графика функции автокорреляции и величины дисперсии случайного сигнала путём расширения (сужения) полосы частот , занимаемой энергетическим спектром. Нарисовать графики функции автокорреляции при и .

3) Определение спектральной плотности случайного процесса

Определение спектральной плотности мощности случайного процесса (величина дисперсии и параметр для задания графика нормированной линейной убывающей функции автокорреляции задаются студентом).

Нарисовать график спектральной плотности при заданном графике функции автокорреляции.

Отчет по лабораторной работе должен содержать:

- цель и задание к каждому пункту лабораторной работы.

- краткие теоретические сведения.

- различные варианты входных данных и графики для них.

- выводы.

Основные понятия и определения.

1. Исследование временной функции автокорреляции.

Для исследования сигналов в частотной области используются две характеристики: спектральная характеристика и спектральная плотность мощности. Спектральной характеристике, содержащей полную информацию о сигнале , соответствует преобразование Фурье в виде временной функции. Спектральная плотность мощности во временной области соответствует временной функции автокорреляции. Временная функция автокорреляции определяется как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности мощности и находится по формуле:

,

где

.

Одной и той же спектральной плотности мощности соответствует множество временных функций, различающихся фазами. Временная функция автокорреляции так же не содержит фазовой информации. Она показывает степень связи значений функции , разделенных интервалом времени , и может быть получена из статистической теории путем развития понятия коэффициента корреляции.

2. Исследование случайного процесса.

Математические модели детерминированных сигналов являются известными функциями времени. Их использование позволяет успешно решать задачи, связанные с определением реакций конкретных систем на заданные входные сигналы. Случайные составляющие, всегда имеющие место в реальном сигнале, считаются при этом пренебрежимо малыми и не принимаются во внимание. Однако единственная точно определенная во времени функция не может служить математической моделью сигнала при передаче и преобразовании информации. Так как получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, однозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества возможных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется случайный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.

Необходимость применения статистических методов исследования диктуется тем, что в большинстве случаев пренебрежение воздействием помехи в процессах передачи и преобразования информации недопустимо, так как воздействие помехи на полезный сигнал проявляется в непредсказуемых искажениях его формы. Математическая модель помехи представляется также в виде случайного процесса, характеризующегося параметрами, определенными на основе экспериментального исследования. Вероятностные свойства помехи, как правило, отличны от свойств полезного сигнала, что и лежит в основе методов их разделения.

Под случайным процессом подразумевают такую случайную функцию времени , значения которой в каждый момент времени случайны. Конкретный вид случайного процесса, зарегистрированный в определенном опыте, называется реализацией случайного процесса. Точно предсказать, какой будет реализация в очередном опыте, принципиально невозможно. Могут быть определены лишь статистические данные, характеризующие все множество возможных реализаций, называемое ансамблем. Ценность таких моделей сигналов в том, что появляется возможность судить о поведении информационной системы не по отношению к конкретной реализации, а по отношению ко всему ансамблю возможных реализаций.

Основными признаками, по которым классифицируются случайные процессы, являются: пространство состояний, временной параметр и статистические зависимости между случайными величинами в разные моменты времени .

Пространством состояний называется множество возможных значений случайной величины . Случайный процесс, у которого множество состояний составляет континуум, а изменения состояний возможны в любые моменты времени, называется непрерывным случайным процессом. Если же изменения состояний допускаются лишь в конкретном или счетном числе моментов времени, то говорят о непрерывной случайной последовательности.

Случайный процесс с конечным множеством состояний, которые могут изменяться в произвольные моменты времени, называется дискретным случайным процессом. Если же изменения состояний возможны только в конечном или счетном числе моментов времени, то говорят о дискретных случайных последовательностях.

В соответствии с определением случайный процесс может быть описан системой обычно зависимых случайных величин , взятых в различные моменты времени . При неограниченном увеличении числа такая система будет эквивалентна рассматриваемому случайному процессу .

Исчерпывающей характеристикой такой системы является -мерная плотность вероятности . Она позволяет вычислить вероятность реализации, значения которой в моменты времени будут находиться соответственно в интервалах . График вероятностной характеристики случайного процесса изображен на рисунке 2.1.