3.2. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом нуль-таблиць і жорданових перетворень

Приклад 3.3. Візьмемо систему рівнянь:

Перепишемо вільні члени у ліву частину; нулі для зручності запишемо зліва і зобразимо систему у вигляді табл. 3.5, яка називається нуль-таблицею:

Таблиця 3.5

				1
0	2	1	2	–1
0	–1	1	–2	–3
0	2	2	1	–3

Послідовно застосовуючи жорданові перетворення, замінюємо нулі на величини . Ведучі елементи обводимо кружками.

Перехід від табл. 3.5 до наступної розберемо докладно. Нехай потрібно замінити нуль першого рядка на . Ведучий елемент дорівнює одиниці. Будуємо табл. 3.6.

Таблиця 3.6

		0		1
	–2	1	–2	1
0	–3	1	–4	–2
0	–2	2	–3	–1

Елементи першого рядка, крім ведучого, змінили знаки, у ведучому стовпчику – не змінилися. Решту елементів перераховуємо: на перетині другого рядка і стовпчика нове значення елемента: ; на перетині третього рядка і стовпчика : тощо. Ділити на ведучий елемент не потрібно, оскільки він дорівнює одиниці.

При всіх перетвореннях рядки зберігають значення рівнянь.

Помічаємо, що стовпчик, в якому зверху стоїть нуль, не несе ніякої інформації. Тому його з таблиці викреслюємо. Подальші перетворення таблиць такі:

			1			0		1		(викреслюємо стовпчик з нулем і всі елементи ділимо на (-2))
	–2	–2	1			–2	–2	–4
0	–3	–4	–2		0	–3	–1	1
0	– 2	–3	–1			1	3	1

		1			0	1		(викрес- люємо стовпчик з нулем і ділимо на 1/2)			1
	1	2			1	3/2					3
0	1/2	–1/2			1	1/2					1
	-3/2	–1/2			-3/2	–1					-2

Пам’ятаючи, що кожен рядок таблиці є рівняння, маємо: .

За допомогою цього методу можна також знаходити всі розв’язки недовизначеної системи , перевизначеної , а також фіксувати відсутність розв’язків.

Приклад 3.4.

Складаємо нуль-таблицю і виконуємо перетворення:

				1					1				1
0	1	–2	1	–5			2	–1	5			6	9
0	3	–2	4	–11		0	4	1	4			–4	–4
0	2	0	3	–6		0	4	1	4		0	0	0

Третій рядок таблиці складається з нулів. Це рівняння не несе інформації, тому рядок викреслюється, а всі розв’язки системи набувають вигляд:

тобто , – базисні змінні; – вільна, яка може набувати будь-яких значень, наприклад, .

Склад базисних змінних міг би бути іншим у разі вибору інших ведучих елементів.

Примітка. Для економічних ситуацій актуальним і бажаним є саме цей випадок, бо він дає можливість вибору різних варіантів як структури розв’язків, так і величин базисних змінних.

Приклад 3.5.

Складаємо нуль-таблицю і робимо перетворення:

				1					1
0	1	–2	3	–6			2	–3	6
0	2	3	–4	–5		0	7	–10	7
0	3	1	–1	–2		0	7	–10	16

			1	(ділимо на 7)			1
		–1	28			–1/7	4
		10	–7			10/7	–1
	0	0	63		0	0	9

Останній рядок зображає рівняння: 0=9, що свідчить про суперечливість системи рівнянь.

Таким чином, якщо у таблиці виникає рядок, в якому всі елементи дорівнюють нулеві, а вільний член не дорівнює 0 – ця система розв’язків не має.