Лекція №3. Метод Жордана-Гаусса. Одержання невід’ємних розв’язків системи лінійних рівнянь і нерівностей.
3.1. Алгоритм жорданових перетворень
Наведемо приклад.
Приклад 3.1. Нехай задана деяка система рівнянь:
Розв’язавши її, маємо вирази:
Зобразимо обидві системи у вигляді табл. 3.1 і 3.2:
Таблиця 3.1 |
|
Таблиця 3.2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
2 |
|
(=) |
–1 |
2 |
||
|
3 |
1 |
|
(=) |
3 |
–5 |
||
У цих таблицях кожен рядок зображає рівняння (знаки „=” надалі опускаємо). Елементи рядка множаться на величини, що стоять зверху стовпчика, і ці добутки складаються.
Як видно з таблиць, розв’язування системи рівнянь зводиться до заміни величин, що стоять у рядках, на величини, що стоять зверху стовпчиків.
Досягти кожної такої заміни можна, застосовуючи так звані жорданові перетворення.
Розглянемо більш загальний випадок.
Приклад 3.2. Нехай задана система
Зобразимо систему у вигляді табл. 3.3.
Таблиця 3.3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Визначимо з другого рівняння і підставимо його значення у перше рівняння:
;
.
Наведемо нові співвідношення у вигляді табл. 3.4.
Таблиця 3.4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здійснено так званий один крок жорданових перетворень, який полягає у заміні величини на і навпаки.
Опишемо алгоритм одного кроку жорданових перетворень, тобто у нашому прикладі переходу від табл. 3.3 до табл. 3.4.
Вибираємо пару величин – одну в рядку, другу в стовпчику, які будуть мінятися місцями. Відповідні рядок і стовпчик назвемо ведучими, а елемент на їх перетині – ведучим елементом. У табл. 3.3 це елемент
.
Позначимо ведучий елемент кружечком.
Він не повинен дорівнювати 0.Міняємо місцями вибрані величини.
На місце ведучого елемента ставимо одиницю.
Усім іншим елементам ведучого рядка змінюємо знаки.
Усі інші елементи ведучого стовпчика залишаємо без змін.
Усі інші елементи таблиці перетворюємо за правилом прямокутника, а саме:
подумки утворюємо прямокутник, в якому шуканий і ведучий елементи стоять на кінцях діагоналі, яку назвемо головною;
нове значення елементу дорівнює різниці добутків пар елементів, що стоять на головній та іншій діагоналях.
Усі без винятку елементи ділимо на ведучий елемент.
Деякі властивості жорданових перетворень:
якщо ведучий елемент додатний, усі інші елементи ведучого рядка змінюють знаки;
якщо ведучий елемент від’ємний, усі інші елементи ведучого стовпчика змінюють знаки.