informatika

Композиция соответствий

1. Соответствием S из множества A в множество B называется подмножество S Í A´B. Тот факт, что элементы aÎ A, bÎ B находятся в соответствии S, мы будем записывать в виде (a, b) Î S или в виде aSb.

2. Естественным образом для соответствий S1 и S2 определяются S1∩S2 и S1U S2 – как пересечение и объединение подмножеств. Как и для любых подмножеств определяется понятие включения соответствий S1 Í S2. Так S1 Í S2 Û

из a S1b Þ a S2b.

Для соответствий S1 Í A´B и S2 Í B´C определим композицию соответствий S1*S2 Í A´С. Будем считать, что для элементов aÎ A, сÎ С по определению a S1*S2 с Û $ bÎ B такой, что a S1 b и b S2 с.

4. Для соответствия S Í A´B определим соответствие

S -1 Í B´A так: по определению bS -1a Û a S b.

5. Пусть по определению соответствие DAÍ A´A,

DA=.

6. Соответствие F из множества A в множество B называется функцией, определенной на A, со значениями в B (или отображением из A в B), если " aÎ A $! bÎ B такой, что aFb. В этом случае будем писать также aF = b или, более привычно, Fa = b. В этом определении функция отождествляется со своим графиком. В наших обозначениях aF1*F2 с можно записать в виде с = (aF1)F2 . Композиция F2F1 функций означает по определению, что (F2F1 )(a)= F2(F1 (a)). Таким образом, F2F1 = F1*F2 .

7. Для отображения F из A в B образом подмножества A1Í A

называется подмножество F(A1)= Í B, а прообразом подмножества B1 Í B называется подмножество

F -1(B1)= Í A .

8. Отображение F из A в B называется инъекцией, если из

a1 ¹ a2 Þ Fa1 ¹ Fa2.

9. Отображение F из A в B называется сюръекцией, если

" bÎ B $ aÎ A такой, что Fa = b.

10. Отображение F из A в B называется биекцией или взаимнооднозначным отображением, если F – инъекция и сюръекция одновременно.

11. Биекция конечного (а иногда и бесконечного) множества называется подстановкой.

12. Бинарным отношением на множестве Х называется подмножество R Í X´X. Тот факт, что элементы x, y Î X находятся в отношении R, мы будем записывать в виде (x, y) Î R или в виде xRy.

Композиция соответствий. Пусть заданы соответствия R из X в Y и S из Y в Z. Их композицией (или произведением) называется соответствие P из X в Z такое, что P(x)=S(R(x)) для всех x из X. Композиция соответствий R и S обозначается через RS. Согласно определению имеем

RS = {(x,z) | существует y∈Y, для которого (x,y)∈R и (y,z)∈S}.

Если X=Y=Z и R=S, то вместо RR пишут R², вместо (R²)R – (R³) и т.д.

Граф как бинарное отношение. Граф как соответствие.

Бинарным отношением на множестве называется непустое множество упорядоченных пар элементов этого множества.

Бинарное отношение на множестве вершин графа, заданное как «существует путь из в », является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивает это множество на классы эквивалентности, называемые компонентами связности графа. Если у графа ровно одна компонента связности, то граф связный. На компоненте связности можно ввести понятие расстояния между вершинами как минимальную длину пути, соединяющего эти вершины.

Подходы при определении понятия информации; философский подход

Филосовский подход: Информация – это взаимодействие, отражение, познание. Кибернетический подход: Информация – это характеристики управляющего сигнала, передаваемого по линии связи

Можно выделить следующие основные подходы к определению информации:

* традиционный (обыденный) - используется в информатике: Информация – это сведения, знания, сообщения о положении дел, которые человек воспринимает из окружающего мира с помощью органов чувств (зрения, слуха, вкуса, обоняния, осязания).

* вероятностный - используется в теории об информации: Информация – это сведения об объектах и явлениях окружающей среды, их параметрах, свойствах и состоянии, которые уменьшают имеющуюся о них степень неопределённости и неполноты знаний.

Определение информации по Р.Хартли

Хартли определил информацию как определённого рода преобразование, переводящее приёмник из одного состояния в другое

«информация по Хартли» – это программа по выбору, поиску, идентификации объекта «методом последовательного деления на два». Такой метод идентификации называют также дихотомической или бинарной процедурой поиска

Наконец, подчеркнём, что в отличие от широко распространённого представления, «информация по Хартли» не описывает объект, а предназначена только для его выбора, поиска, идентификации.

формула для меры Хартли: I= log N, N-число разных идентифицируемых сообщений

Ряд Котельникова и функция отчетов

Переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента может быть выполнен путем взятия отсчетов функции в определенные (дискретные) моменты времени. В результате дискретизации исходная непрерывная по аргументу функция заменяется совокупностью ее мгновенных значений. Полученная последовательность узких импульсов называется гребенчатой или решетчатой функцией. По ее значениям можно восстановить исходную функцию с некоторой погрешностью.

Котельников доказал, что сложный непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

где - нормированная функция отсчетов (максимальная амплитуда равна 1; момент существования k -ого отсчета сигнала t*=k∆T). ∆T - шаг дискретизации; ωM - круговая частота высшей гармоники спектра сигнала (самой высокочастотной); k - номер очередного отсчета сигнала (номер узкого импульса); t - текущее время.

Данное преобразование - ряд Котельникова, позволяет точно отображать сложный непрерывный сигнал последовательностью бесконечно узких импульсов, следующих с равным интервалом (шагом дискретизации), величина которого определяется в виде ,

где fm - частота и Tmin - период высшей гармоники спектра сигнала.

Сигнал, представленный рядом Котельникова должен удовлетворять следующим условиям:

1)является однозначным (одному знач. аргумента соответствует одно значение функции); 2)ограничен по амплитуде;

3)кусочно-непрерывный;

4)имеет конечное число экстремумов на интервале определения;

5)спектр ограничен сверху частотой высшей гармоники ωM.

В ряду Котельникова под знаком  расположено множество деформированных функций отсчета. Математическое высказывание ряда Котельникова представляет исходную непрерывную функцию в любой момент времени t - как суперпозицию множества деформированных функций отсчетов.