3. Геометрический и механический смысл определенного интеграла

Геометрический смысл: определенный интеграл от неотрицательной функции f(x) численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху функцией f(x), снизу осью Ox, слева прямой x=a, справа прямой x=b.

Механический смысл: если f(x) есть величина переменной силы, т.е. F = f(x), то определенный интеграл выражает работу переменной силы по перемещению материальной точки вдоль прямолинейного пути (вдоль отрезка [ a, b ].

Итак, геометрический смысл определенного интеграла есть площадь, а механический – работа переменной силы.

4. Основные свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

Действительно,

2. Определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых. Например, для двух слагаемых:

Это свойство доказывается аналогично.

Замечание. Свойства 1. и 2. характеризуют свойство линейности определенного интеграла.

3. Свойство аддитивности определенного интеграла. Если область интегрирования [a; b] разбить на две части [a; c] и [c; b], то:

Доказательство.

Так как f (x) интегрируема на [a; b], то существует конечный предел n-ой интегральной суммы, который не зависит ни от способа разбиения области интегрирования на части, ни от выбора точек С_i внутри частичных областей. Это позволяет при составлении каждой интегральной суммы включить точку c в число точек разбиения. Пусть с = х_к. Тогда интегральная сумма будет состоять из двух частей, одна из которых относится к [a; с], другая к [с; b]:

Переходя к пределу при   0, имеем:

или

Геометрически: площадь криволинейной трапеции с основанием [a; b] равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями [a; с] и [с; b]

Замечание. Нетрудно убедиться, что выведенная формула будет справедлива и для случая, когда точка с лежит вне отрезка [a; b].

4. Свойство неотрицательности определенного интеграла.

Если на отрезке [a; b] f (x)  0, то

Действительно, т.к. f (C_i)  0 и x_i > 0, то Поэтому и предел интегральной суммы при  0, т.е.

5. Интегрирование неравенств. Если на отрезке [a; b], две функции f (x) и  (х) удовлетворяют неравенству: f (x) (x), то .

Другими словами, неравенство можно почленно интегрировать.

У нас разность f (x) - (x) . По свойству (4) но

откуда .

6. Если а = b, то

7. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

8. Если функция f(x) = 1 на отрезке [a; b], то интеграл от -нее дает длину этого отрезка:

9. Ограниченность определенного интеграла.

Пусть значения функции в любой точке отрезка [a; b] не больше числа М и не меньше числа m: m  f (x)  M.

Тогда m (b - a) 

Доказательство. Если m  f(x)  M, то по свойствам 5, 1 и 8 получим:

10. Теорема о среднем.

Если f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка c внутри этого отрезка, что:

Доказательство. Обозначим через m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда m  f(x)  M,  x [a; b].

По свойству (9) (геометрически оно означает, что площадь заштрихованной части является промежуточным значением между площадями двух прямоугольников с общим основанием (b - a) и высотами M и m):

Разделив это неравенство на (b - a), получим:

m   M. Обозначим Тогда m  M, т.о.  является промежуточным числом между наименьшим значением m функции f(x) и ее наибольшим значением М, следовательно, найдется такое значение с  (a; b), для которого f(c) =  или

Отсюда

Значение функции f (x) в точке х = с называется средним значением функции на отрезке [a; b].

Итак, свойства определённого интеграла мы будем использовать при его вычислении.