Тема

ОПределенный интеграл

Занятие 1. Определенный интеграл

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

а) Площадь криволинейной трапеции.

Пусть f (x) - непрерывная положительная функция. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f (x); снизу – отрезком [a; b] оси Ох, а с боков – прямыми x = a; x = b.

Найдем площадь этой трапеции, для чего:

1. Разобьем отрезок [a; b] точками х₀ = а; х₁, . . . , х_n = b на n произвольных частей длиной x_i = x_i – x _i-1.

При этом вся трапеция разобьется на n “малых” трапеций площадью S_i:

.

2. На каждом из отрезков [x _i-1; x_i] выберем произвольную точку С_i и построим в этой точке ординату кривой f (C_i).

3. Заменим малую криволинейную трапецию, опирающуюся на x_i, прямоугольником с тем же основанием x_i и высотой, равной f (C_i). Площадь прямоугольника f (C_i)x_i будет приближенно заменять площадь малой криволинейной трапеции S_i.

4. Проделав такие же построения со всеми отрезками, получим, что площадь S будет выражаться приближенным равенством:

(*)

При одном и том же n отрезок [a; b] можно разбить на части бесчисленным множеством способов, а также на каждой части бесчисленным множеством способов можно выбирать точку С_i. Следовательно, при решении этой задачи можно составить бесчисленное множество так называемых интегральных сумм вида (*), которые будут отличаться друг от друга и давать различные приближенные значения для S.

Ясно, что решение такой задачи должно быть точным и единственным, и добиться этого можно следующим способом.

Обозначим через  наибольшую из длин малых отрезков:

 = max (x₁, x₂,. . . ,x_n).

С уменьшением  точность приближенной формулы для S увеличивается. Чтобы получить точное значение площади криволинейной трапеции, следует перейти к пределу, устремив  к нулю (при этом n  ):

.

Естественно, этот предел должен существовать и не зависеть ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора промежуточных точек C_i.

б) Работа переменной силы.

Рассмотрим физическую задачу о работе переменной силы F = f (x) по перемещению материальной точки m вдоль оси Ох из положения x = a в положение x = b (направления перемещения и действия силы совпадают).

Разбив отрезок [a;b] на n произвольных частей длиной x_i, найдем суммарную работу:

A =

где A_i - работа на участке x_i (т.н. ’’элементарная работа’’).

Если функция F = f (x) непрерывна на [a;b] , а длина участка x_i достаточно мала, то величину A_i можно найти приближенно, считая, что на этом участке сила F постоянна и равна значению в некоторой промежуточной точке C_i . Тогда:

A 

Таким образом, мы получили приближенное решение, аналогичное решению задачи о площади криволинейной трапеции, поэтому и точное решение получим при переходе к пределу на описанных выше условиях:

.

2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм

Обобщением решения рассмотренных задач (и многих им подобных) является понятие определенного интеграла.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] . Разобьем отрезок [a; b] на n малых участков длиной x_i и внутри каждого участка выберем произвольно точку C_i . Составим сумму всех произведений (интегральную сумму):

(*)

Определение. Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a; b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма (*) при неограниченном увеличении числа малых участков при условии, что каждый из них стягивается в точку, если такой предел существует и не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек:

=

где  - максимальная длина участков x_i.

Концы a и b отрезка [a; b] называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла, f (x) - подынтегральная функция, f (x) dx - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования, [a; b] - область интегрирования.

Зависит определенный интеграл от вида подынтегральной функции, от чисел а и b, определяющих область интегрирования. Переменная интегрирования х служит лишь для удобного обозначения определенного интеграла и может быть обозначена любой другой буквой:

Возникает вопрос, когда же существует конечный предел интегральной суммы при   0 ? (Такая функция, для которой существует определенный интеграл, называется интегрируемой в соответствующей области).

Теоремы существования определенного интеграла

1. Всякая непрерывная на отрезке [a; b] функция интегрируется на этом отрезке.

2. Если на отрезке [a;b] функция ограничена и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Примечание. В дальнейших рассуждениях везде будем предполагать, что условия интегрируемости функций выполнены (кроме тех случаев, где это специально оговорено).

Итак, определённый интеграл есть предел интегральной суммы.