22. Алгебра предикатов. Определения. Операции над предикатами.

О: Пусть задана некоторая область U – предметная область.

Пусть заданы некоторые переменные x1,x2,..xn, которые называются предметными. Тогда n – местным предикатом P(x1,x2,..xn) мы будем называть отображение мн-ва эл-тов предметной области в множество высказываний.

x1,x2,..,xnU => P(x1,x2,..,xn) - высказывание.

О: 1) (P, U) – называется тождественно истинным, если все прообразы P^-1({1})=U

3. (P, U) – называется тождественно ложным, если все прообразы P^-1({0})=U

Операции над предикатами

Над множеством предикатов можно ввести те же операции, что и в АВ

P(x1, x2,.., xn), Q(x1, x2,.., xn), U

По опр.:

1. (P)(x1,.., xn) =

2. (PQ)(x1,.., xn) = P(x1,.., xn)Q(x1,.., xn)

3. (PQ)(x1,.., xn) = P(x1,.., xn)Q(x1,.., xn)

Т.: Множество n-местных предикатов на предметной области U образует булеву алгебру предикатов (выполняются 19 основных равносильностей):

Змч.:  формула в АВ Ф(x1,.., xn) от n-переменных также является n-местным предикатом. Сами высказывания также можно считать 0-местными предикатами.

23. Операции, понижающие местность предикатов. Кванторы

Фиксация переменных

P(x1,.., xn) – n-местный предикат, определённый на предметной области U.

aU, a – некоторый фиксированный элемент на предметной области.

Тогда, по опр.: (n-1)-местный предикат, определённый на U, при фиксации переменной xi=a – это Q(x1,x2,..,x(i-1), x(i+1),..,xn)≡ P(x1,..,x(i-1),a,..,xn)

Пр.: R(x,y,z): x^2+y^2=z, (x,y,zR) (P(1,2,3)≡0, P(1,2,5)≡1)

Зафиксируем значение переменной z, z=1, получим 2-местный предикат:

R(x,y,1)=Q(x,y) (x^2+y^2=1, x,y, R)

Кванторы

О.: Пусть P(x) – одноместный предикат на предметной области U. Поставим ему в соответствие высказывание, обозначаемое x P(x), которое истинно  когда P(x)≡1

(О высказывании x P(x) говорят, что оно получено из предиката P навешиванием квантора всеобщности по переменной x)

О.: Пусть P(x) – одноместный предикат на предметной области U. Поставим ему в соответствие высказывание, обозначаемое x P(x), которое ложно  когда P(x)≡0

(О высказывании x P(x) говорят, что оно получено из предиката P навешиванием квантора существования по переменной x)

Змч.: Операции кванторы связаны с обычными операциями над предикатами

Если область U = {x1,..,xn} – конечна, то x P(x)≡P(x1)P(x2)…P(xn)

Аналогично: x P(x)≡P(x1)P(x2)…P(xn)

(P(x) – одноместный предикат)

Далее, зная операцию фиксации переменных, можно определить (n-1)-местный предикат ( xi P(x1,...,x(i-1),xi,x(i+1),…,xn), xi P(x1,...,x(i-1),xi,x(i+1),…,xn) ) по любому n-местному предикату на области U

Далее, аналогично можно построить (n-2)-местный предикат. Например:

xj xi P(x1,..., xn); xj xi P(x1,..., xn); xj xi P(x1,..., xn); xj xi P(x1,..., xn);

Пр.: D(x1,x2)={натуральное число x1 делится без остатка на натуральное число x2}, U=N; x1 D(x1,x2)≡P(x2)

Т.:

Доказательство:

1) = 0  x P(x) =1  P(x)≡1  =0  x=0