1.1 Определение 2-го интеграла. Теорема существования 2-го интеграла (без док-ва). Геометрический смысл 2-го интеграла

Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая функция z=f(x;y). Разобьем обл. P на n частичных обл. Р_i , где i=1…n, возьмём произвольную точку обл. (_I;_I)  Р_i ,  - наибольший диаметр чатичных обл. Построим частичную сумму – сумму Римена.

Опр:

Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (_I;_I) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:

В случае, если функция f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: двойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:

Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла. Геометрическое приложение двойного интеграла. Площадь плоской поверхности.

_D f(x,y)dxdy=S_D 2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки Di; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую Di и найти значение функции в этой точке. Vi=f(xi,yi)*Si. Сумма Vi=ⁿ_i=1f(xi,yi)*Si – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D. lim_{max di0}ⁿ_i=1f(xi,yi)*Si=V_Т если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда). f(x,y)dxdy=V_цил Площадь поверхности. S_пов.=[1+(z/x)²+(z/y)²dxdy].

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл

существует.

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл

существует.

1.3 Двойной интеграл в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных. Луч, проходящий из произв. точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, ) где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус.  = угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+, 0<= <=2 .Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = rcos , y = rsin .Якобиан преобразования будет равен:

И формула при переходе примет вид:

1.2 Вычисление двойного интеграла в ДОСК.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то

1.5 Цилиндрическая система координат, и сферическая

Координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Сферическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

1.4 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная функция f (x,y,z). Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с объемами V1… Vn В каждой частичной области возьмем произв. точку М с кооорд Mi(i,i,i) составим сумму: f(i,i,i)Vi, кот называется интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за  максимальный диаметр частичной области. Если интегральная сумма при   0 имеет конечный предел, то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:

Задача о массе неоднородного тела

Масса тела: , где (М) = (x,y,z) -плотность. Моменты инерции тела относительно осей координат:

Момент инерции относительно начала координат:

Координаты центра масс: m – масса.

Интегралы, стоящие в числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: (М) = const, то из формул она убирается и она упрощаются как в 2ных интегралах.