4.3 Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Док-во:

Sn=u1+u2+…+un

Sn-1\u1+u2+…+un-1

un=Sn-Sn-1, поэтому:

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.

4.2 Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k. Тогда имеем: S_n=C_k+D_n-k, где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_n-k, то сущ-ет и limS_n; если сущ-ет lim S_n, то сущ-ет limD_n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁+a₂+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁+ca₂+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n, а ряда (2) – через D_n. Тогда D_n=ca₁+...+ca_n=c(a₁+...+a_n)=cS_n. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n=lim(cS_n)=climS_n=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁+a₂+...(5) и b₁+b₂+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁и S₂, то ряды (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+...(7) и (a₁–b₁)+(a₂–b₂)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁+S₂ и

S₁–S₂.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_1n и S_2n, получим: D_n=(a₁+b₁)+...+(a_n+b_n)=(a₁+...+a_n)+(b₁+...+b_n)=S_1n+S_2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n, получим limD_n=lim(S_1n+S_2n)= limS_1n+limS_2n=S_1n+S_2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_1n+S_2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n=0 n.

Док-во: пусть ряд U₁+U₂+...+U_n+... сходится, т.е. limS_n=S n, тогда имеет место равенство limS_n-1=S.

limS_n–limS_n-1=0, lim(S_n–S_n-1)=0. Но S_n–S_n-1=U_n следов-но lim U_n=0 ч.т.д.

4.15 Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

e^x=1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-;)

sinX=x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1[X2n^-1]/(2n-1)!+… (-;)

cosX=1-x²/2!+x⁴/4!-…+[(-1)ⁿX²ⁿ]/(2n)!+… (-;)

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)x²]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x³]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xⁿ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-..+[(-1)ⁿxⁿ⁺¹]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)=1+x+x²+…+xⁿ+..

1/(1+X²)=1-x²+x⁴-x⁶+…

arctgX=x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…+[(-1)ⁿ⁺¹x^2n-1]/2n-1+…

4.12 Степенные ряды. Теорема Абеля

Степенным рядом наз функциональный ряд вида: a₀+a₁x+a₂x²+… + a_nxⁿ = (1)x  R членами которого являются степенные ф-ции. Числа an  R, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:

a₀+a₁(x-x0)+a₂(x-x0)²… + a_n(x-x0)ⁿ = (2)

Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.

Т Абеля

1Если степенной ряд (1) сходится в т. х0  0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|.

2Если степеннгой ряд (1) расходится в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|

4.14 Ряд Тейлор. Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)[(x-a)²/2!]+… …+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+R_n(x), (1) где остаточный член R_n(х)={[(x-a)ⁿ⁺1]/[(n+1)!]}f⁽ⁿ⁺¹⁾[a+(x-a)], где 0<<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n остаток ряда стремился к 0, т.е. R_n(x)o. Переходя в формуле (1) к пределу при n, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора: f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+…+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+…Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)[x²/2!]+…

…+fⁿ(0)[xⁿ/n!]+….