Шпора №18
.docZ0 – устранимая особая точка f(z), если предел функции в этой точке равен const.
Если точка Z0 – устранимая особая точка, то ряд Лорана состоит только из правильной части.
Пусть f(z) неограниченна в окрестности точки а и предел в этой точке равен бесконечности, тогда точка а полюс f(z).
Если а полюс то предел равен бесконечности.
Также эта точка является нулем для функции (f(z))–1
Вывод : точка а является полюсом для f(z) порядка n ,если она является нулем для функции (f(z))–1 n‑ого порядка.
То
чка а – полюс , когда f(z) можно представит в
виде (см.вверх). т- порядок полюса.
Если а полюс порядка n для f(z) тогда и только тогда ,когда разложение в ряд Лорана в окрестности точки а содержит в главной части ровно n ненулевых членов.n<.
Точка а существенно особая точка функции f(z), если предел в этой точке не существует.
Точка а с.о.т. f(z), если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов отличных от 0
Рассмотри точку z= - особая точка.
Учитывая разложение в ряд Лорана при z=.
исследование идет через замену =1/z.
24-Вычет ФКП. Основная теорем о Выч.
Пусть точка а 0 правельная или изолированная особая точка f(z) однозначная ФКП и пусть С простой контур(обходящийся 1 раз в положительном направлении ) и такой, что функция f(z) является аналитичной на контуре и внутри за исключением быть может самой точки а=> тогда величину называют вычетом f(z) в точке а и обозначают Выч[f(z),a].
Теорема Основная о вычетах.
Пусть f(z) аналитичная функция вD за исключением изолирован-ных точек а1,а2,…,аnD =>тогда для любого простого замкнутого контура C охватывающего все точки величина
по это формуле считаются контурные интегралы.
Доказательство: Пусть С – простойконтур на которой f(z)- аналитичная функция. Пусть внутри С f(z) аналитична, кроме точек а1,а2,…,аn.
Проведем окружности С1,С2,…,Сn с центрами в точка а1,а2,…,аn такчтобы окружности друг друга не касались. По теореме Коши для составного контура имеем.
25- Вычисление Вычетов.
Если точка а о.и. точка f(z),коэфициент
Вывод: Вычет это есть C-1 коэффициент.
Выч[f(z),a]= C-1.
Если точка а правльеная точка, то главной части в р.Л. нет, следует Выч[f(z),a]=0 для точки а (устранимой или правельной).
Если точка а- из.о. точка другого типа то вычит может быть любым полюсом.
Если а= то Выч[f(z),a]= -C-1. Минус из-за обхода по часовой стрелке.
Теорема.
Пусть f(z) аналитич-на во всех точка плоскости за исключением aN=, тогда
Доказательство.
Из сопоставления определения вычита в бесконечности и вычетов в конечной точке.
Утверждение.
Если функция f(z) имеет в точке z=a простой полюс, то вычет в этой точке равен
док-во
Т.к. а – простой полюс, то ряд Лорана имеет вид
-аналитическая функция в окрестности точки а.
Утверждение2.
Если функция f(z) имеет в точке z=а полюс порядка m, то вычет в этой точке равен
Доказательство:
Разложим в ряд Лорана
умножим на (z-a)m
2-Последовательность…
Последовательность комплексных чисел называется пронумерованное бесконечное множество чисел.
Обозначение {Zn}-последоват. Zn –элемент послед.
Число Z называется пределом последовательности {Zn}, если для >0 можно указать такой N(), начиная с которого все элементы Zn этой последовательности удовлетворяют неравенству
|Z- Zn|< при nN
Последовательность имеющая предел Z, называется сходящейся к числу Z, что записывается в виде:
Множество точек Z комплексной плоскости, лежащих внутри окружности радиуса c центром в точке Z0(|Z0-Z|< ),называется -окреснтностью точки Z0.
Теорема: Необходимыми и достаточными условиями сходимости последовательности {Zn} является сходимость последовательностей действительных чисел an и bn где (Zn=an+ibn)
Док-во: Если последовательность {Zn}-> к числу Z=a+ib,то для >0 | an-a|| Zn-Z|< и | bn-b|< при nN(). Это доказывает сходимость последовательностей {an} и {bn} к a и b обратное утверждение следует из соотношения :
где a и b является пределом последовательностей {an} и {bn} и (Z=a+ib).
Последовательность {Zn} называется ограниченной если существует такое положительное число М, что всех элементов Zn этой последовательности имеет место неравенство | Zn|<M.
Критерий Коши: Последовательность {Zn} сходится тогда и только тогда, если для любого можно указать такое N(), что |Zn-Zn+m|< при nN() и для любого т большего или равного нулю.
Доказательство: Необ. Крит.
Т.к. последовательность {Zn} сходится, то сходится и последовательность действительных чисел {аn}и{bn}. Отсюда следует, что для >0 и любого номера т>0 |an-an+m|< /2 при nN1() и|an-‑an+m|< /2 при nN2().Выбираем из N1 и N2 наибольшее значение, в силу неравенства треугольника получаем |Zn-Zn+m|< при nN().
Дост.призн. Из соотношения |Zn-Zn+m|< при nN()следуют неравенства |an-an+m||Zn-Zn+m|< и |bn-bn+m||Zn-Zn+m|<, являющиеся достаточными условиями сходимости последовательностей {an} и {bn}, т.е. сходимости последовательности {Zn}. Тем самым доказано, что для сходимости {Zn} с комплексными элементами необходимым и достаточным является критерий Коши.