Каково необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора?

Для того чтобы f(x) могла быть разложена в степенной ряд, необходимо и достаточно, чтобы она в интервале сходимости имела производные всех порядков, и чтобы остаточный член формулы Тейлора -> 0, и n -> бесконечности.

Необходимость

Дано: функция разложена в степ. ряд;

Док-ть: что она дифференцируема бесконечное число раз и предел Rn (x) = 0, при n -> бесконечности.

Док-во: все производные существуют, т. к. функция разложена в ряд. lim_n->∞ Rn(x) = lim_n->0 (f(x)-Sn(x)) = f(x)-f(x) = 0

Достаточность

Дано: функция дифференцируема бесконечное число раз и предел Rn (x) = 0, при n -> бесконечности;

Док-ть: функция разложена в степ. ряд.

Док-во: т. к. функция дифференцируема бесконечное число раз, то можно записать Sn(x) = f(0) + f’(0)/1! * x + … + f⁽ⁿ⁾(0)/n! * xⁿ

Какие ДУ называются уравнениями с частными производными? Э

Сформулировать достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (признаки сравнения, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши)

Признак Даламбера:Рассмотрим положительный числовой ряд. Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему:, то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при.

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

Радикальный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд. Если существует предел:, то:

а) При ряд сходится. В частности, ряд сходится при .

б) При ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Интегральный признак Коши:Рассмотрим положительный числовой ряд. Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Признак сходимости:

Пусть даны два знакоположительных ряда:

и

Тогда, если, начиная с некоторого места (), выполняется неравенство:

,

то из сходимости ряда следует сходимость.

Или же, если ряд расходится , то расходится и.

Предельный признак сравнения

Если иесть строго положительные ряды и,

то при , из сходимостиследует сходимость, а прииз расходимостиследует расходимость.

Какой ряд называется знакопеременным? Знакочередующимся? Привести примеры.

Какой ряд называется знакопеременным?

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Знакочередующимся?

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.

Общая формула знакопеременного ряда

Сформулировать признак Лейбница и следствие из него об оценке погрешности вычисления суммы ряда.

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1. (монотонное невозрастание {a_n} по абсолютной величине)

2. .

Тогда этот ряд сходится.

Из доказательства признака Лейбница следует, что сумма знакопеременного сходящегося ряда меньше по модулю первого члена остатка ряда. Поскольку любой остаток рядаr_n является также рядом Лейбница, то для него справедливо:

.

Какие ДУ 1 порядка называются ДУ с разделяющимися переменными? Однородными? Линейными? Бернулли? В полных дифференциалах?