
- •Что называется градиентом функции?
- •Что называется максимумом, минимумом, экстремумом функции двух переменных?
- •Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области d?
- •Сколько фундаментальных систем решений имеет такое ду? Почему? Какова структура общего решения линейного однородного ду n-го порядка?
- •Каково необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора?
- •§ 3. Уравнения с разделяющимися переменными
Сформулировать теорему о среднем
Какова связь между неопределённым и определённым интегралами от непрерывной на [a, b] функции?
Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.
Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).
Сформулировать
определения несобственных интегралов
I рода:
,
,
Сформулировать определения несобственных интегралов II рода от неограниченных функций (особая точка функции
Что называется определённым интегралом от функции f(x) на [a, b]?
Предел интегральной суммы
при максимальном ∆х(i)→0, если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка на элементарные, ни от выбора (.) С(i), называется определенным интегралом для функции f(x) на определенном отрезке [a;b]
Каков геометрический смысл определённого интеграла на [a, b] от неотрицательной функции?
Как определяется порядок ДУ?
Что называется решением, общим решением ДУ?
Какой ряд называется сходящимся
Пусть
дана бесконечная последовательность
чисел u1, u2, …, u(n), … Выражение u1+u2+…+u(n)+…
называется числовым рядом. Выражение,
определяющее u(n) как функцию номера n,
называется общим членом ряда; n-й частичной
суммой ряда называется сумма первых
его n членов, s(n)=u1+u2+…+u(n). Ряд называется
сходящимся, если существует конечный
предел
, а число s называется суммой ряда; если
же
бесконечен или не существует, ряд
называется расходящимся.
Что называется суммой ряда?
Сумма
числового ряда
определяется как предел, к которому
стремятся суммы первых n слагаемых ряда,
когда n неограниченно растёт. Если такой
предел существует и конечен, то говорят,
что ряд сходится, в противном случае —
что он расходится. Элементы ряда
представляют собой либо вещественные,
либо комплексные числа.
Сумма
(числового) ряда — это предел частичных
сумм
,
если он существует и конечен. Таким
образом, если существует число
, то в этом случае пишут
.
Такой ряд называется сходящимся. Если
предел частичных сумм не существует
или бесконечен, то говорят, что ряд
расходится.
Что называется градиентом функции?
Градиентом функции u=f(x, y, z) в точке M(x, y, z), называется вектор, координатами которого служит значение частных производных этой функции заданных в точке М.
grad
u =
=
Что называется максимумом, минимумом, экстремумом функции двух переменных?
(x0, y0) – точка максимума функции z = f(x, y), если существует d-окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство f(x0, y0) > f(x, y);
(x0, y0) – точка минимума функции z = f(x, y), если существует d-окрестность этой точки, для всех точек которой выполняется неравенство f(x0, y0) < f(x, y).
Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области d?
Двойной
интеграл численно
равен площади плоской фигуры D (области
интегрирования). Это простейший вид
двойного интеграла, когда функция двух
переменных равна единице: f
(x,
y)
= 1.
Сначала
рассмотрим задачу в общем виде. Сейчас
вы немало удивитесь, насколько всё
действительно просто! Вычислим площадь
плоской фигуры ,
ограниченной линиями x
= a,
x=
b,
y
= f(x),
y
= g(x).
Для определённости считаем, что f(x)
> g(x) на
отрезке [a,
b].
Площадь данной фигуры численно равна:
S
=
Изобразим
область D на
чертеже:
Выберем первый способ обхода области: g(x)<=y<=f(x), a<=x<=b
Таким
образом:
S
=
=
И сразу важный технический приём: повторные интегралы можно считать по отдельности. Сначала внутренний интеграл, затем – внешний интеграл. Данный способ настоятельно рекомендую начинающим в теме чайникам.
1)
Вычислим внутренний интеграл, при этом
интегрирование проводится по переменной
«игрек»:
=f(x)
– g(x)
Неопределённый интеграл тут простейший, и далее используется банальная формула Ньютона-Лейбница, с той лишь разницей, что пределами интегрирования являются не числа, в функции. Сначала подставили в «игрек» (первообразную функцию) верхний предел, затем – нижний предел
2) Результат, полученный в первом пункте необходимо подставить во внешний интеграл:
Более
компактная запись всего решения выглядит
так:
S
=
=
=
=
Что называется тройным интегралом от функции u =f (х, у, z) по пространственной области V?
Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):
здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V; Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,
i = 1,...,n;
—
ранг
разбиения;
– диаметр i-ой
элементарной части.
Сколько фундаментальных систем решений имеет такое ду? Почему? Какова структура общего решения линейного однородного ду n-го порядка?
Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнения непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные.