2.5. Приближенные методы решения уравнения Шредингера.

Точное аналитическое решение уравнения Шрёдингера можно найти только для очень небольшого числа задач. Во многих случаях удаётся решить задачу численно, но для этого нужны достаточно глубокие знания численных методов, в частности, методов решения дифференциальных уравнений. В то же время довольно часто удаётся решить уравнение Шрёдингера приближенно, но с достаточной степенью точности, чтобы объяснить или даже рассчитать количественно какой-либо физический эффект. Одним из приближенных методов решения уравнения Шрёдингера является метод теории возмущений.

Этот метод удобно применять тогда, когда рассматриваемая физическая система незначительно отличается от другой системы, для которой известно аналитическое решение уравнения Шрёдингера, известны собственные значения энергии и соответствующие собственные функции. Подобные ситуации часто возникают при решении различных задач атомной физики, физики молекул, твёрдых тел. Во всех этих системах имеются весьма сильные внутриатомные или внутримолекулярные поля. Если атом или молекула взаимодействуют с внешним полем, которое, как правило, существенно слабее внутриатомного или внутримолекулярного, то состояние атома (молекулы) изменяется незначительно, и такое изменение состояния часто можно изучить с помощью теории возмущений.

В качестве примера системы, допускающей решение задачи методом теории возмущений, рассмотрим бесконечную прямоугольную потенциальную яму (яму со стенками, высота которых стремится к бесконечности), на дне которой потенциальная энергия не является постоянной. Один из возможных примеров такой потенциальной ямы изображен на рис. 3.1. На дне ямы имеется небольшой (а по сравнению с U любой барьер выглядит небольшим) потенциальный барьер высотой U₀. Область с потенциальной энергией U₀> 0 локализована в пределах от x = a до x = b (axb).

Итак, потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями

(3.1)

Требуется определить собственные значения энергии частицы массы m в такой потенциальной яме, а также волновые функции, соответствующие этим собственным значениям.

Можно предположить, что значения энергии частицы с большими значениями главного квантового числа, для которых выполняется условие E>>U₀, будут незначительно отличаться от тех, которые получаются для бесконечной ямы с нулевой потенциальной энергией на дне. В то же время чем меньше энергия частицы, тем большего различия со значениями, полученными для «идеальной» прямоугольной потенциальной ямы можно ожидать. Это же относится и к волновым функциям.

Гамильтониан рассматриваемой системы можно представить в виде

,

где – гамильтониан частицы, находящейся в бесконечной прямоугольной потенциальной яме, собственные функции и собственные значения которого известны. - потенциальная энергия частицы в яме, она задаётся формулами (3.1). Учитывая, что рассматриваемая потенциальная яма не очень сильно отличается от «идеальной» прямоугольной потенциальной ямы, попытаемся собственные значения энергии, получаемые из решения уравнения Шрёдингера, представить в виде суммы значений энергии для «идеальной» потенциальной ямы и некоторых небольших по величине поправок. Точно так же волновые функции системы попытаемся представить, как сумму волновых функций полученных для «идеальной» прямоугольной потенциальной ямы, и некоторых других функций, значения которых для рассматриваемой области меньше по величине, чем значения волновых функций частицы в «идеальной» потенциальной яме. Это всего лишь идея. Сначала попытаемся разобраться, можно ли такую идею воплотить в жизнь, а если можно, то при каких условиях.