Оцінка істинного значення вимірюваної величини

Нехай здійснюються п незалежних вимірювань деякої фізичної величини з однаковою точністю приладу (одним приладом), і до того ж істинне значення цієї величини невідоме. Результати вимірювань х₁, х₂,..., х_n – це незалежні однаково розподілені випадкові величини, оскільки вони мають одне і те саме математичне сподівання – істинне значення вимірюваної величини, і однакові дисперсії, бо вимірювання здійснюються з однаковою точністю. На підставі центральної граничної теореми можемо також стверджувати, що ці випадкові величини розподілені нормально. Отже, істинне значення вимірюваної величини можна оцінити за середнім арифметичним окремих вимірювань за допомогою інтервалів довіри.

Приклад 3. За даними 9-ти незалежних вимірювань фізичної величини, здійснених за допомогою одного приладу, знайдено середнє арифметичне результатів окремих вимірювань = 42,319 і підправлене середнє квадратичне відхилення s = 5,0. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю  = 0,95.

Розв’язання. Оскільки n = 9 < 30 і середнє квадратичне відхилення σ невідоме, то, як і в попередньому прикладі, межі інтервалу довіри шукаємо за формулою (5), а значення t_= t(,n) – за допомогою таблицs 1: t_= t(0,95; 9) = 2,31;

Отже, з надійністю  = 0,95 істинне значення вимірюваної величини покривається інтервалом (38,469; 46,169).

Інтервали довіри для оцінки середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини

Нехай ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. Знайдемо надійні межі для середнього квадратичного відхилення σ з заданою надійністю . Оскільки точковою оцінкою для параметра σ є підправлене середнє квадратичне відхилення s, то для цього потрібно розв’язати рівняння: P{|σ − s |<δ } =  P{s −δ <σ < s +δ } =.

Перетворимо подвійну нерівність s −δ <σ < s +δ

s(1 − q) < σ < s(1 + q) q < 1;

0 < σ < s(1 + q) q > 1,

де q=q(,n) знаходимо за допомогою таблиці 2.

Приклад 4. За даними вибірки обсягу n = 20 визначино «виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення s = 2 нормально розподіленої випадкової величини Х. Знайти довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ з надійністю =0,95.

Розв’язання. Спочатку за таблицею 2 знаходимо значення q=q(,n)=q(0,95;20)=0,37. Оскільки q < 1, довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ з надійністю =0, 95 обчислюємо за формулою: s(1 − q) < σ < s(1 + q), тобто

1,26 < σ < 2,74

xi	1	2	3	4	5
ni	1	4	6	3	1

Приклад 5. У результаті статистичних досліджень випадкової величини Х отримано вибірку обсягу n = 15 із приведеним статистичним розподілом. Знайти з надійністю 0,999 інтервальну оцінку середньоквадратичного відхилення σ випадкової величини Х. Вважати випадкову величину Х розподілену за нормальним законом.

Розв’язання. Спочатку за таблицею 2 знаходимо значення q=q(,n)= =q(0,999;15)=1,15;

Щоб обчислити «виправлене» вибіркове середнє квадратичне відхилення s, попередньо знаходимо:

Оскільки q > 1, довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення σ з надійністю =0, 95 обчислюємо за формулою: 0 < σ < s(1 + q), тобто 0< σ <2,22.