Самостійна робота № 13

Тема: Розв’язування задач з теми «Статистичні оцінки параметрів розподілу.».

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 13);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.

2. Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р

Інтервальні оцінки параметрів

Точкова оцінка θ* параметра θ тим точніша, чим менша величина різниці |θ −θ*| . Якщо би вдалося встановити, що |θ −θ*|<δ , то число δ > 0 характеризувало б точність точкової оцінки θ* параметра θ. Однак статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що |θ −θ*|<δ , бо θ* є випадкова величина. Можна лише казати про ймовірність  , з якою ця нерівність виконується.

Надійністю точкової оцінки θ* параметра розподілу θ називають імовірність , з якою виконується нерівність |θ −θ*|<δ , тобто P{|θ −θ*|<δ} = . (1)

На практиці надійність оцінки задається наперед, причому число  вибирають близьким до одиниці:  = 0,95;  = 0,99;  = 0,999. Наприклад, надійність оцінки  = 0,95 означає, що за достатньо великої кількості вибірок 95% з них визначають такі інтервали довіри, в яких справді знаходиться невідомий параметр.

Співвідношення (1) перетворимо до рівносильного виразу:

P{−δ <θ −θ* <δ } = або P{θ* −δ <θ <θ* +δ } = .

Інтервал (θ*−δ ,θ* +δ), для якого виконується рівність (1), називається інтервалом довіри (надійним інтервалом), а його межі θ*−δ і θ*+δ – надійними межами для параметра розподілу θ.

Інакше кажучи, інтервал довіри для параметра розподілу θ є інтервал (θ*−δ, θ*+δ), який з імовірністю  „накриває” точне значення цього параметра.

Зрозуміло, що завжди бажано, щоб для заданої близької до одиниці ймовірності  довжина інтервалу довіри була якомога меншою. Однак практично завжди є така альтернатива: збільшення надійності  призводить до збільшення довжини інтервалу довіри, і навпаки.

Загальний спосіб, за допомогою якого знаходять інтервал довіри, полягає в тому, що розв’язують рівняння (1) і визначають з нього число δ . А для цього потрібно обчислити ймовірність P{θ*−δ <θ <θ* +δ}. Останнє обчислення можна зробити, якщо відомий закон розподілу точкової оцінки θ*(х₁, х₂,..., х_n) або пов’язаної з нею іншої випадкової величини, бо тоді можна використати відомі формули з теорії ймовірностей:

P{α ≤ θ* < β} = F(β ) − F(α ), або P{α ≤ θ* < β} = ,

де F(x) – функція розподілу і p(x) – щільність розподілу випадкової величини θ*.

Теореми про надійні межі для математичного сподівання

Теорема 1. Нехай Х – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, для якої М(X ) = a, D(X ) =σ² , − вибіркове середнє, обчислене за вибіркою обсягу п з цієї генеральної сукупності. Тоді , (2)

де - інтегральна функція Лапласа

Теорема 2. Нехай Х – довільно розподілена ознака генеральної сукупності, для якої М(X ) = a, D(X ) =σ² , − вибіркове середнє, обчислене за вибіркою обсягу п з цієї генеральної сукупності. Тоді , (3)

де - інтегральна функція Лапласа

Інтервальні оцінки для математичного сподівання

Нехай х₁, х₂,..., х_n – результати п незалежних спостережень за випадковою величиною Х, на підставі яких необхідно знайти інтервал довіри для невідомого параметра a = М(X ).

Оскільки для математичного сподівання точковою оцінкою є вибіркове середнє , то для знаходження інтервалу довіри x −δ < a < x + δ потрібно розв’язати рівняння:

P{| − a |<δ } =   P{ −δ < a < +δ } = . (4)

Якщо середнє квадратичне відхилення σ випадкової величини Х відоме, то розв’язок рівняння (4) можна знайти, використовуючи рівності (2) або (3).

Так, якщо σ відоме, Х – нормально розподілена випадкова величина або обсяг вибірки значний ( n > 30 ), то ми можемо записати, що .

Тоді, якщо t = t_ = − розв’язок рівняння 2Φ(t) = , то з надійністю  інтервал є інтервал довіри для математичного сподівання а.

Якщо середнє квадратичне відхилення σ невідоме, але обсяг вибірки значний (n > 30 ), то інтервал довіри можна записати у вигляді , (5) де s – підправлене середнє квадратичне відхилення, знайдене за вибіркою обсягу п.

Приклад 1. Випадкова величина Х розподілена нормально з відомим середнім квадратичним відхиленням σ = 3. Знайти інтервал довіри з надійністю  = 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання а, якщо вибіркове середнє = 20,02 знайдене за даними вибірки обсягу n = 36.

Розв’язання. З рівняння 2Φ(t) = 0,95  Φ(t) = 0,475 за допомогою таблиць функції Лапласа знаходимо t= t_ = 1,96. Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:

;

Отже, a(19,04; 21,00) з надійністю  = 0,95.

Приклад 2. Ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n =16 знайдено вибіркове середнє = 20,2 і підправлене середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Оцінити невідоме математичне сподівання а за допомогою інтервалу довіри з надійністю  = 0,95.

Розв’язання. Оскільки n =16 < 30 і середнє квадратичне відхилення σ невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри використаємо формулу (5), де значення t_= t(,n) шукаємо за допомогою таблицi 1. Тоді t_= t(0,95; 16) = 2,13;

;

Отже, a(19,774; 20,626) з надійністю  = 0,95.