
- •Інтервальні оцінки параметрів
- •Теореми про надійні межі для математичного сподівання
- •Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Оцінка істинного значення вимірюваної величини
- •Інтервали довіри для оцінки середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої випадкової величини
- •Для самостійної роботи
Самостійна робота № 13
Тема: Розв’язування задач з теми «Статистичні оцінки параметрів розподілу.».
Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.
Завдання
Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;
Дати відповіді на поставлені питання (лекція 13);
Виконати письмово приведені завдання;
Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;
Зробіть висновки.
Рекомендована література:
Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.
Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р
Інтервальні оцінки параметрів
Точкова оцінка θ* параметра θ тим точніша, чим менша величина різниці |θ −θ*| . Якщо би вдалося встановити, що |θ −θ*|<δ , то число δ > 0 характеризувало б точність точкової оцінки θ* параметра θ. Однак статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що |θ −θ*|<δ , бо θ* є випадкова величина. Можна лише казати про ймовірність , з якою ця нерівність виконується.
Надійністю точкової оцінки θ* параметра розподілу θ називають імовірність , з якою виконується нерівність |θ −θ*|<δ , тобто P{|θ −θ*|<δ} = . (1)
На практиці надійність оцінки задається наперед, причому число вибирають близьким до одиниці: = 0,95; = 0,99; = 0,999. Наприклад, надійність оцінки = 0,95 означає, що за достатньо великої кількості вибірок 95% з них визначають такі інтервали довіри, в яких справді знаходиться невідомий параметр.
Співвідношення (1) перетворимо до рівносильного виразу:
P{−δ <θ −θ* <δ } = або P{θ* −δ <θ <θ* +δ } = .
Інтервал (θ*−δ ,θ* +δ), для якого виконується рівність (1), називається інтервалом довіри (надійним інтервалом), а його межі θ*−δ і θ*+δ – надійними межами для параметра розподілу θ.
Інакше кажучи, інтервал довіри для параметра розподілу θ є інтервал (θ*−δ, θ*+δ), який з імовірністю „накриває” точне значення цього параметра.
Зрозуміло, що завжди бажано, щоб для заданої близької до одиниці ймовірності довжина інтервалу довіри була якомога меншою. Однак практично завжди є така альтернатива: збільшення надійності призводить до збільшення довжини інтервалу довіри, і навпаки.
Загальний спосіб, за допомогою якого знаходять інтервал довіри, полягає в тому, що розв’язують рівняння (1) і визначають з нього число δ . А для цього потрібно обчислити ймовірність P{θ*−δ <θ <θ* +δ}. Останнє обчислення можна зробити, якщо відомий закон розподілу точкової оцінки θ*(х1, х2,..., хn) або пов’язаної з нею іншої випадкової величини, бо тоді можна використати відомі формули з теорії ймовірностей:
P{α
≤
θ*
<
β}
=
F(β
)
−
F(α
),
або
P{α
≤
θ*
<
β}
=
,
де F(x) – функція розподілу і p(x) – щільність розподілу випадкової величини θ*.
Теореми про надійні межі для математичного сподівання
Теорема
1. Нехай
Х –
нормально
розподілена ознака генеральної
сукупності,
для
якої
М(X
)
=
a,
D(X
)
=σ2
,
−
вибіркове
середнє,
обчислене
за
вибіркою
обсягу п з цієї генеральної сукупності.
Тоді
,
(2)
де
-
інтегральна
функція Лапласа
Теорема
2.
Нехай
Х –
довільно
розподілена ознака генеральної
сукупності,
для
якої
М(X
)
=
a,
D(X
)
=σ2
,
−
вибіркове
середнє,
обчислене
за
вибіркою
обсягу п з цієї генеральної сукупності.
Тоді
,
(3)
де - інтегральна функція Лапласа
Інтервальні оцінки для математичного сподівання
Нехай х1, х2,..., хn – результати п незалежних спостережень за випадковою величиною Х, на підставі яких необхідно знайти інтервал довіри для невідомого параметра a = М(X ).
Оскільки для математичного сподівання точковою оцінкою є вибіркове середнє , то для знаходження інтервалу довіри x −δ < a < x + δ потрібно розв’язати рівняння:
P{| − a |<δ } = P{ −δ < a < +δ } = . (4)
Якщо середнє квадратичне відхилення σ випадкової величини Х відоме, то розв’язок рівняння (4) можна знайти, використовуючи рівності (2) або (3).
Так, якщо σ
відоме, Х
– нормально
розподілена випадкова величина або
обсяг
вибірки значний ( n
> 30
), то ми можемо записати, що
.
Тоді,
якщо t
= t
= − розв’язок
рівняння 2Φ(t)
=
,
то з надійністю
інтервал
є інтервал довіри для математичного
сподівання а.
Якщо
середнє квадратичне відхилення σ
невідоме,
але обсяг вибірки значний (n > 30
), то інтервал довіри можна записати у
вигляді
,
(5) де s
– підправлене середнє квадратичне
відхилення, знайдене за вибіркою обсягу
п.
Приклад 1. Випадкова величина Х розподілена нормально з відомим середнім квадратичним відхиленням σ = 3. Знайти інтервал довіри з надійністю = 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання а, якщо вибіркове середнє = 20,02 знайдене за даними вибірки обсягу n = 36.
Розв’язання. З рівняння 2Φ(t) = 0,95 Φ(t) = 0,475 за допомогою таблиць функції Лапласа знаходимо t= t = 1,96. Межі інтервалу довіри шукаємо за формулами:
;
Отже, a(19,04; 21,00) з надійністю = 0,95.
Приклад 2. Ознака Х генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n =16 знайдено вибіркове середнє = 20,2 і підправлене середнє квадратичне відхилення s = 0,8. Оцінити невідоме математичне сподівання а за допомогою інтервалу довіри з надійністю = 0,95.
Розв’язання. Оскільки n =16 < 30 і середнє квадратичне відхилення σ невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри використаємо формулу (5), де значення t= t(,n) шукаємо за допомогою таблицi 1. Тоді t= t(0,95; 16) = 2,13;
;
Отже, a(19,774; 20,626) з надійністю = 0,95.