Статистичний розподіл вибірки

Припустимо, що вивчають деяку генеральну випадкову величину Х. Для цього проводять низку незалежних дослідів або спостережень, у кожному з яких величина Х набуває того чи іншого значення. Сукупність отриманих значень х₁,х₂,. ,х_n величини Х (де n - кількість дослідів) і є утворена нами вибірка. Цю сукупність часто називають статистичним рядом; він відіграє роль вихідного числового матеріалу, що підлягяє подальшій обробці та аналізу.

Перший етап обробки статистичного ряду - побудова так званого простого варіаційного ряду. Його отримують з елементів наявної вибірки, розмістивши х_і (і = 1,2,...,n) у порядку зростання (неспадання) їхніх значень. Позначимо члени нового ряду через х_(і), щоб відрізняти його від х_і . Тоді простий варіаційний ряд буде поданий як неспадна послідовність:

x₍₁₎, x₍₂₎,…., х_(п) ,

де х₍₁₎ ≤ х₍₂₎ ≤ …..≤ х_(п).

Наступний етап обробки вихідного статистичного ряду - побудова статистичного (емпіричного) закону розподілу. Форма його запису залежить від характеру досліджуваної випадкової величини Х.

Нехай Х - дискретна випадкова величина. Тоді найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою так званого згрупованого варіаційного ряду. Його отримують у такий спосіб: серед чисел простого варіаційного ряду відбирають усі різні і розміщують їх у порядку зростання:

х₁,х₂,. ,х_k,

де х₁<х₂<...<х_k (k ≤ n). При цьому для виділених варіант х_і (і = 1,2,...,k) одночасно обчислюють частоти n_і, що їм відповідають або відповідні відносні частоти w_і;_; частота n_і дорівнює кількості спостережень, в яких випадкова величина Х набула значення х_i, а відносна частота (і = 1,2,...,k).

Очевидно, що ; .

Дискретним статистичним розподілом вибірки називається відповідність між варіантами та їхніми частотами або відносними частотами.

Дискретний статистичний розподіл вибірки можна подати у формі таблиць:

• дискретний статистичний розподіл частот:

xi	х1	х2	…	xk
ni	п1	п2	…	nk

• дискретний статистичний розподіл відносних частот:

xi	х1	х2	…	xk
wi	w1	w2	…	wk

Приклад 1. Під час дослідження кількісної ознаки Х із генеральної сукупності було отримано вибірку: {4, 3, 6, 4, 7, 2, 5, 1, 2, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 4, 1, 3, 4}. Знайти обсяг вибірки, побудувати варіаційний ряд вибірки та її статистичний розподіл, а також розподіл відносних частот.

Розв’язання. Вибірка складається з 20 значень, то ж обсяг вибірки n=20.

Побудуємо варіаційний ряд вибірки:1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7.

У даній вибірці всього 7 варіант: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Знаходимо частоту кожної варіанти:, n₂=2, n₃=4, n₄=6, n₅=3, n₆=2, n₇=1.

Запишемо шуканий статистичний розподіл:

xi	1	2	3	4	5	6	7
ni	2	2	4	6	3	2	1

Розподіл відносних частот: w_i = n_i /n

xi	1	2	3	4	5	6	7
wi	0,1	0,1	0,2	0,3	0,15	0,1	0,05

╚═

Розглянемо тепер випадок, коли випадкова величина Х - неперервна. У такому разі (а також у випадку, коли випадкова величина дискретна і обсяг вибірки n >30) статистичний закон розподілу вибірки записують як інтервальний варіаційний ряд - частот або відносних частот. Для цього весь діапазон зміни ознаки від найменшого (х_min) до найбільшого (x_max) значення розбивають на певну кількість проміжків (частіше однакової довжини) [z₀,z₁), [z₁,z₂),...,[z_m-1,z_m) і збирають в окремі групи елементи сукупності, для яких величина Х набуває значень у кожному з проміжків.

Обсяг вибірки	Кількість інтервалів
30-60	6-8
60-100	7-10
100-200	9-12
200-500	11-17

Для визначення приблизної кількості інтервалів можна використати таку таблицю:

Для вибору оптимальної довжини частинного інтервалу [z_і-1,z_i) рекомендована формула: . Далі границі інтервалу знаходимо : z₀=x_min, z_i=z_i-1+h, а відповідне n_i – кількість значень, що потрапляють в частинний інтервал [z_і-1,z_i). Межі проміжків або беруть „круглими" числами, або визначають з точністю до а/2, де а- точність, з якою визначені значення вибірки. Це означає, що початок першого проміжка z₀ і кінець останнього z_{т не обов' язково збігаються відповідно з} z_{тin і} z_{тах . Вимагається лише, щоб} z₀≤ x_тin і z_т > х_тіх. Якщо z_т = х_тіх, то будемо вважати, що в інтервальному варіаційному ряді останній проміжок є відрізком.

Частота п_і події Х є [z_і-1,z_І) обчислюється як кількість випробувань, в яких значення випадкової величини Х потрапило в і-ий проміжок, а відносна ^{частота цієї події}

Інтервальним статистичним розподілом вибірки називається відповідність між інтервалами варіаційного ряду та їхніми частотами або відносними частотами.

Інтервальний статистичний розподіл вибірки, як і дискретний, записують у формі таблиць:

^{• інтервальний статистичний розподіл частот:}

[zі-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	[z2,z3)	…	[zm-1,zm)
ni	n1	п2	n3		nm

^{• інтервальний статистичний розподіл відносних частот:}

[zі-1,zi)	[z0,z1)	[z1,z2)	[z2,z3)	…	[zm-1,zm)
wi	w1	w2	w3		wm

І нтервальний статистичний розподіл вибірки за необхідності можна замінити дискретним. Для цього досить частинні інтервали [z_і-1,z) замінити числами - серединами цих інтервалів (тобто прийняти ), а відповідні значення частот (відносних частот) залишити без змін.