Самостійна робота № 7

Тема: Розв’язування задач з теми «Поняття випадкової величини та функції розподілу».

Мета: Закріпити набуті знання та навички, перевірити їх при виконанні практичних завдань.

Завдання

1. Засвоїти теоретичний матеріал згідно теми;

2. Дати відповіді на поставлені питання (лекція 7);

3. Виконати письмово приведені завдання;

4. Випишіть питання, що виникли в ході засвоєння матеріалу;

5. Зробіть висновки.

Рекомендована література:

1. Барковський В.В. Теорія ймовірностей та математична статистика – К: Центр учбової літератури, 2010р.

2. Кочетков Е.С. Теорія ймовірностей і математична статистика – М: Форум, 2011р

Поняття випадкової величини та функції розподілу

Випадковою величиною ( ВВ.) називається величина, яка внаслідок випробування приймає те або інакше невідоме зазделегідь значення.

Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F(х), яка при кожному своєму аргументі х чисельно дорівнює ймовірності того, що випадкова величина Х виявиться менше за значенням аргументу х:

F(x)=P{X<x}

За допомогою табличного запису закону розподілу можна визначити функцію розподілу F(x) випадкової величини Х за формулою F(x)=P{X<x}=

Властивості функції розподілу:

1. F(x) – неспадна функція, тобто якщо x₁>x₂, то F(x₁)≥F(x₂);

2. F(-∞)=0, F(+∞)=1, тобто 0 ≤ F(х) ≤ 1.

3. Р{а < X < b} = F(b) - F(а).

Аналітичний запис функції розподілу :

Для дискретних випадкових величин F(x) – розривна ступенчата функція, неперервна ліворуч.

Дискретні випадкові величини

Випадкова величина X називається дискретною (ДВВ), якщо:

• сукупність її можливих значень вдається перерахувати - х_1, х₂, .. х_n (або х_1, х₂, .. х_n …..), тобто її значення належать лічильній множині - скінченній або нескінченній;

• можна знайти відповідні ймовірності р_k = Р{Х = х_k} того, що випадкова величина X приймає ці значення .

Закон розподілу - це вичерпна характеристика випадкової величини, зв'язок між можливими значеннями випадкової величини (або конкретними діапазонами значень) і відповідними ймовірностями.

X	х1	х2	…	xi	…	хn
P	p1	p2	…	pi	…	хn

Найбільш простою формою задання закону розподілу ДВВ є ряд розподілу – таблиця: у першому рядку перераховують всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а у другому - відповідні імовірності:

Оскільки події {X = х_k}, {X = х₂},... несумісні й утворять повну групу подій, то

- умова нормування.

Приклад 1 У грошовій лотереї розігрується 2 виграші по 1000 грн, 10 виграшів по 100 грн і 100 виграшів по 10 грн за загальної кількості білетів 10000. Визначити закон розподілу випадкової величини Х - виграшу власника одного лотерейного білета.

Розв язання. Можливими значеннями дискретної випадкової величини Х є числа х₁=1000, х₂=100, х₃=10, х₄=0. Відповідні їхні ймовірності обчислюємо за формулою:

p_k= n_k/n, де n_k - кількість виграшних білетів на відповідну суму гривень, n - кількість всіх білетів лотереї. Одержимо:

.

Закон розподілу випадкової величини Х запишемо у вигляді таблиці:

		Х=хk			1000				100			10		0
		p=pk			0,0002				0,001			0,01		0,9888

Х=хk	-2	1	4	6
p=pk	0,2	0, 1	0,3	0,4

Приклад 2 Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу, що визначається табоицею. Знайти функцію розподілу випадкової величини Х.

Розв язання. Якщо x ≤ −2, то F(x) = P{X < -2} = 0, бо подія {X < -2} неможлива.

Якщо −2 < x ≤1, то F(x) = P{X < 1} = 0,2, бо подія {X < 1} рівносильна події {X = −2}, яка має ймовірність 0,2.

Якщо 1< x ≤ 4, то F(x) = P{X ≤ 4} = 0,2 + 0,1= 0,3, бо подія {X ≤ 4} є сумою двох несумісних подій: {X = −2}, яка має ймовірність 0,2, і {X =1}, яка має ймовірність 0,1.

Я кщо 4 < x ≤ 6, то F(x) = P{X ≤ 6} = 0,2 + 0,1+ 0,3 = 0,6, бо подія {X ≤ 6} є сумою трьох несумісних подій: {X = −2}, яка має ймовірність 0,2, {X =1}, яка має ймовірність 0,1 і {X = 4}, яка має ймовірність 0,3.

Якщо x > 6, то F(x) = P{X > 6} =1, бо подія {X > 6} є вірогідною.

О тже, функція розподілу заданої дискретної випадкової величини має такий аналітичний та графічний вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини має „східчастий" характер.