2. Середнє лінійне (абсолютне) відхилення

Повернемося до таблиці. У четвертому стовпчику знайдемо модулі різниць кожної варіанти і середньої арифметичної. У п’ятому стовпчику запишемо добутки модулів отриманих різниць на відповідні частоти. Внизу вкажемо суму цих добутків - число 69. І, нарешті, сума поділена на об’єм вибірки, дасть нам значення середнього лінійного відхилення - d, яке називають ще середнім абсолютним відхиленням. Середнє абсолютне відхилення служить для характеристики розсіювання варіаційного ряду. Для обчислення середнього лінійного (абсолютного) відхилення існує формула:

М аючи середню арифметичну величину й середнє лінійне відхилення, можна коротко охарактеризувати в цілому результативність даної групи як (7±3) влучення з 12 можливих.

3. Розмах варіації

Найпростішим показником варіації, який характеризує однорідність вибірки, є розмах варіації. Розмахом варіації називається різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіантів ряду: R_max = x_max – x_min (2.4)

Розмах також є характеристикою розсіювання варіаційного ряду. Якщо порівнюються дві групи, у яких середні арифметичні показники однакові, а різниці між найбільшим і найменшим варіантами різні, то та група, де R_max має менше числове значення, вважається більш однорідною. В наведеному прикладі розмах варіації влучень дорівнює: 12-0=12, що є досить великим.

4. Дисперсія і стандартне відхилення

Д исперсія і стандартне відхилення є важливими характеристиками розсіювання. Дисперсія - середнє арифметичне квадратів відхилень варіантів від їх середнього значення. Дисперсія, обчислена за вибірковими даними, називається вибірковою дисперсією і позначається σ² (сигма в квадраті). Вона обчислюється за формулою (2.5). Стандартним відхиленням (або середнім квадратичним відхиленням) називається арифметичний (додатний ) корінь з дисперсії (формула 2.6):

Оскільки стандартне відхилення вимірюється в таких самих одиницях, що й ознака, яка варіює, то в практичній статистиці для характеристики розсіювання використовують, як правило, його, а не дисперсію. Якщо об'єм сукупності невеликий (n<30), то в знаменнику формули (2.5) замінюють n на n-1. Величина n-1 називається числом ступенів свободи і вказує на кількість членів сукупності, які вільно варіюють. Пояснімо, що це означає. Нехай треба довільно обрати три числа так, щоб їхня сума становила 10. За цієї умови вибір двох доданків буде довільним, а величина третього залежатиме від вибору перших двох. Кажуть, що одна з трьох варіант, про які йдеться, не має ступеня свободи. В математичній статистиці доведено, що при визначенні середнього арифметичного жодних обмежень вільного варіювання немає. Що ж до показників варіації, то один член вибіркової сукупності завжди не має ступеня свободи. В деяких випадках може існувати і більше число обмежень (ν), для обчислення якого існує формула: k=n-ν, (k - число ступенів свободи; n - об'єм вибіркової сукупності; ν - число обмежень вільного варіювання). Якщо кількість спостережень велика, то вважають, що істотна різниця між n і n-1 відсутня.

Середнє арифметичне і середнє квадратичне відхилення кількісно повною мірою характеризують вибірку, якщо вона має нормальний розподіл (див. Лекцію №3).

Середнє арифметичне відображає вплив на досліджувану ознаку основних причин, а середнє квадратичне - другорядних причин варіювання. Стандартне відхилення характеризує варіювання значень ознаки навколо центра розподілу, тобто навколо середнього арифметичного.

Обчислимо дисперсію і стандартне відхилення для наведеного вище прикладу, продовжуючи заповнювати таблицю. Піднесемо різниці 4-го стовпчика до квадрата і запишемо отримані результати до 6-го стовпчика. У 7-му стовпчику зафіксуємо результати множення цих різниць на відповідні частоти. Числа 7-го стовпчика додамо: Σ(х_і - )²n_і=293.

Отриману суму 293 поділимо на об’єм вибірки n=26 і знайдемо дисперсію: σ²=293:26≈11,27.

Добувши квадратний корінь з дисперсії, знайдемо середнє квадратичне відхилення: σ = (влучення).

Зауважимо, що фізичний смисл середнього квадратичного відхилення такий самий, як і середнього лінійного відхилення (тобто усереднене значення відхилення результатів у групі в цілому). Проте, оскільки ці показники обчислюються різними способами, то мають числові значення, які дещо відрізняються. Обчисливши і σ, можна замінити весь вихідний масив чисел такими його середніми характеристиками, записаними у вигляді: ± σ=7±3,4 (2.7). Цей запис містить інформацію про середній рівень можливостей групи учнів щодо влучності кидків у баскетбольний кошик та середнє розсіювання влучень навколо . Маючи такі характеристики, наприклад, для паралельних класів, їх буде досить легко порівняти як за середнім рівнем, так і за розсіюванням результатів, і зробити відповідні висновки. Упорядковуючи великі масиви чисел, одержують, перш за все, саме ці показники, оскільки вони використовуються в подальшій математико-статистичній обробці експериментального матеріалу.