2.2.2. Інтервальні оцінки

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична характеристика θ* служить оцінкою невідомого параметра θ. Вважатимемо θ постійним числом (θ може бути і випадковою величиною). Ясно, що θ * тим точніше визначає параметр θ, чим менше абсолютна величина

різниці | θ - θ *|. Іншими словами, якщо δ >0 і [θ - θ *| < δ, то чим менше δ, тим оцінка точніша. Таким чином, позитивне число δ характеризує точність оцінки.

Проте статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка θ* задовольняє нерівності | θ - θ*| < δ; можна лише говорити про ймовірність γ, з якою ця нерівність виконується.

Надійністю (надійною ймовірністю) оцінки γ за θ* називають ймовірність γ, з якою виконується нерівність | θ - θ*| < δ. Зазвичай надійність оцінки задається наперед, причому в якості γ беруть число, близьке до одиниці. Найчастіше задають надійність, рівну 0,95; 0,99 і 0,999.

Нехай ймовірність того, що | θ - θ*| < δ, рівна γ

Р[| θ - θ*| < δ]= γ. (2.2.2.1)

Замінивши нерівність | θ - θ*| < δ рівносильною їй подвійною нерівністю

-δ< θ - θ* < δ , або θ*- δ < θ < δ < θ*+ δ, маємо

Р [θ*- δ < θ < δ < θ*+ δ] = γ.

Це співвідношення слід розуміти так:

Ймовірність того, що інтервал (θ*- δ ; θ*+ δ) містить в собі (покриває) невідомий параметр θ, рівна γ.

Надійним називають інтервал (θ*- δ ; θ*+ δ),який покриває невідомий параметр із заданою надійністю γ.

2.2.3 Надійний інтервал для оцінки математичного очікування нормального розподілу.

Нехай кількісна ознака X генеральної сукупності розподілена нормально, причому середнє квадратичне відхилення σ цього розподілу відомо.

Потрібно оцінити відоме математичне очікування а по вибірковій середній . Поставимо своїм завданням знайти надійні інтервали, що покривають параметр а з надійністю γ.

Розглядатимемо вибіркову середню як випадкову величину ( змінюється від вибірки до вибірки)

і вибіркові значення ознаки х₁, х₂ ..., х_п- як однаково розподілені незалежні випадкові величини X₁, X₂ ...,Х_п (ці числа також змінюються від вибірки до вибірки). Іншими словами, математичне очікування кожною з цих величин рівно а і середнє квадратичне відхилення -σ.

Приймемо без доведення, що якщо випадкова величина X розподілена нормально, то вибіркова середня , знайдена в незалежних спостереженнях, також розподілена нормально. Параметри розподілу такі

М ( ) = а, σ ( ) = .

Необхідно, щоб виконувалося співвідношення

Р(| -а| <δ)= γ

Користуючись формулою (1.3.5.8)

замінивши X на , т на а і σ на σ ( ) = , отримаємо

Р (| - а |< δ) = 2Ф( ) = 2Ф (t) (2.2.3.1)

де t =

Знайшовши з останньої рівності δ = , можемо записати

Р (| - а |< ) = 2Ф (t)

Прийнявши до уваги, що ймовірність Р задана і рівна γ, остаточно маємо (щоб отримати робочу формулу, вибіркову середню знов позначимо через )

Р ( - |< а|< + ) = 2Ф (t)=γ (2.2.3.2)

Зміст отриманого співвідношення такий: з надійністю γ можна стверджувати, що надійний інтервал ( - ; + ) покриває невідомий параметр а; точність оцінки

δ=

Число t визначається з рівності 2Ф(t)= γ або Ф(t) = γ/2; по таблиці функції Лапласа (див. додаток 3) знаходиться аргумент t, якому відповідає значення функції Лапласа, рівне γ/2

Зауваження Надійну ймовірність не слід пов'язувати з оцінюваним параметром; вона зв'язана лише з межами надійного інтервалу, які, як вже було вказано, змінюються від вибірки до вибірки.

Приклад 2.4

Знайти надійний інтервал для математичного очікування а нормального розподілу з надійністю 0,95, знаючи вибіркову середню , об’єм вибірки п і середнє квадратичне відхилення σ

=75,18; п=256, σ=16

Розв’язання

Надійний інтервал для математичного очікування ( -δ; + δ), де δ= . Параметр t визначаємо з умови Ф(t) = γ/2=0,95/2=0,475

З додатку 3 визначаємо, що Ф(t)=0,475 при t=1.96

Тоді

δ= .

-δ=75,18-1,96=73,22

+ δ=75,18+1,96=77,14

а є (73,22; 77,14) – шуканий надійний інтервал.