Примеры решения задач

Задача 13. Вероятность прорастания семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастут: а) три; б) не менее четырех.

Решение. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли

, где , .

а) В нашем случае, p = 0,8, n = 5, m = 3, q=1 – p. Следовательно,

.

б) Прорастание не менее 4 семян означает, что должно взойти либо четыре, либо пять растений. Пусть событие А означает, что из 5 семян взойдут не менее 4 семян; событие В – из 5 взойдут 4; С – из 5 взойдут 5. Поскольку события В и С несовместны, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность события В

.

Для события , и вероятность наступления события С

.

Таким образом, вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех

.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение вероятности события.

2. Какие события называются повторными, независимыми?

3. В каких случаях применяется формула Бернулли?

Тема 8. Элементы математической статистики Методические указания

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой - либо совокупности, обладающих теми или иными признаками.

Различные значения признака, наблюдающиеся у членов совокупности, называются вариантами. Число m_i , показывающее, сколько раз встречается вариант в совокупности, называется его частотой, а отношение частоты варианта к числу n членов совокупности – его относительной частотой , где i принимает значения от 1 до k - числа различных вариант.

, i = 1,2,3,…, k.

Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариант с соответствующими им относительными частотами. Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностью.

Экономически невыгодно производить обследование всей совокупности, если по результатам изучения сравнительно небольшой ее части можно получить с достаточной для практики достоверностью необходимую информацию обо всей совокупности. Такой метод исследования носит название выборочного.

Примеры решения задач

Задача 14. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3. Получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

Решение. Проведем ранжирование ряда. Для этого перепишем результаты наблюдений в порядке возрастания вариант:

1; 1; 2; 2; 2; 3; 3: 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 6.

Определяем частоты различных вариант. Варианта 1 встречается два раза. Следовательно, ее частота равна m₁ = 2. Варианта 2 встречается три раза. Следовательно, ее частота равна m₂ = 3. Аналогично получаем m₃ = 7, m₄ = 5, m₅ = 2, m₆ = 1.

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант. Они равны отношению соответствующей частоты варианты к общему числу наблюдений. Имея в виду, что общее число наблюдений (объем выборки) равно n = 20, относительная частота варианты 1 будет равна . Аналогично

, , ,

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты

= 0,10 + 0,15 + 0,35 + 0,25 + 0,10 + 0,05 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены верно. Результаты вычислений сводим в таблицу 2, которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

Таблица 2 –Распределение числа членов семьи

Значения варианты хi	1	2	3	4	5	6
Частота варианты mi	2	3	7	5	2	1
Относительная частота варианты ωi	0,10	0,15	0,35	0,25	0,10	0,05

Зависимость относительных частот варианты от ее значения изобразим на графике (рис. 4). Концы ординат относительных частот соединяем прямыми линиями. Полученный график называется полигоном распределения относительных частот.

ω_i

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 5 6 x

Рисунок 4 – Полигон распределения относительных частот

Задача 15. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. Принимаем размер интервала равным 2 единицам (∆x_i = 2). Получаем пять интервалов: 6 – 8, 8 – 10, 10 – 12, 12- 14, 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6,3) из ряда, поэтому m₁ = 1. Во второй попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому m₂ = 2. Аналогично получаем m₃ = 12, m₄ = 3, m₅ = 2.

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

, , ,

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты: = 0,05 + 0,10 + 0,60 + 0,15 + 0,10 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты ω_i к размеру интервала ∆x_i:

, , ,

, .

Результаты вычислений поместим в таблицу 3.

Таблица 3 – Интервальный ряд распределения урожайности яровой пшеницы

Интервал значений урожайности ∆хi	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16
Частота варианты mi	1	2	12	3	2
Относительная частота варианты ωi	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Выполняем построение графика показывающего зависимость плотности относительных частот от значений вариант.

0,3

0,2

0,1

0 6 8 10 12 14 16 x

Рисунок 5 – Гистограмма распределения плотности относительных частот

По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по оси ординат – плотность относительных частот. Получаем столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой распределения плотности относительных частот.

Задача 16. Даны величины 25 единиц выборки: 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Определить: 1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности; 2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности; 3) доверительный интервал с границами .

Решение. Приближенное значение средней генеральной совокупности равно среднему арифметическому значению выборки

.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности используем формулу

.

Расчеты по приведенным формулам сведем в таблицу 4.

Таблица 4 – Результаты расчетов отклонений

.

№ п/п	Результат наблюде- ния xi			№ п/п	Результат наблюде- ния xi
1	9	1	1	14	7	-1	1
2	11	3	9	15	6	-2	4
3	9	1	1	16	8	0	0
4	6	-2	4	17	9	1	1
5	6	-2	4	18	10	2	4
6	7	-1	1	19	4	-4	16
7	6	-2	4	20	9	1	1
8	8	0	0	21	10	2	4
9	9	1	1	22	7	-1	1
10	9	1	1	23	8	0	0
11	11	3	9	24	9	1	1
12	10	2	4	25	6	-2	4
13	6	-2	4		200		80

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней найдем по формуле

.

1) В качестве средней генеральной совокупности принимаем величину

;

2) в качестве дисперсии генеральной совокупности имеем величину

;

3) доверительный интервал размером ±2 средних квадратических отклонений:

среднее квадратическое отклонение средней выборки

,

Отсюда, доверительный интервал

8 ± 2∙0,366, или 8 ± 0,732.