Вопросы для самопроверки.
1. Каков геометрический смысл определенного интеграла?
2. Сформулируйте свойства определенного интеграла.
3. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат?
Тема 6. Дифференциальные уравнения Методические указания
Уравнение, в которое входят производные искомой функции, называется дифференциальным уравнением. Уравнение, содержащее производную только первого порядка от одной переменой, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно имеет общий вид
,
где F
– заданная функция трех переменных
;
х
– независимая переменная,
искомая функция от х,
– ее производная.
Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида
,
где
– заданная функция. Имея ввиду, что
,
можно записать
,
или
.
Решение этого
уравнения имеет вид
,
где С – произвольная постоянная.
Решение, содержащее произвольную постоянную, называется общим решением дифференциального уравнения.
Решение, в котором произвольная постоянная имеет определенное значение, обусловленное так называемыми начальными условиями, называется частным решением дифференциального уравнения.
Примеры решения задач
Задача
11.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
частное решение, удовлетворяющее условию
.
Решение.
Перепишем данное уравнение, исходя из
того, что
.
Имеем
.
Данное уравнение
является дифференциальным уравнением
первого порядка с разделяющимися
переменными. Чтобы разделить переменные,
разделим обе части равенства на
и
умножим на
.
Тогда
или
.
Интегрируя обе
части уравнения
,
получаем искомое
общее решение
.
или
.
Частное решение найдем, подставляя в общее решение начальные значения х и у
,
то есть
,
и
.
Задача
12.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
и частное решение, удовлетворяющее
условию
.
Решение.
Перепишем данное уравнение, исходя из
того, что
.
Имеем
.
Чтобы разделить
переменные, умножим обе части равенства
на
.
Тогда
.
Интегрируя обе
части уравнения
,
получаем искомое
общее решение
.
Частное решение мы найдем, подставляя в общее решение начальные значения х и у
,
то есть
,
и
.
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение дифференциального уравнения.
2. Какие уравнения называются дифференциальными уравнениями первого порядка?
3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим; частным?
Тема 7. Теория вероятностей Методические указания
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей однородных случайных событий, которые при определенных условиях могут либо произойти, либо нет.
Вероятностью Р события А называется отношение числа исходов m , благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных исходов испытания
.
Вероятность события принимает значения от 0 до 1.
Если производится несколько независимых испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются повторными независимыми относительно события А. Если при этом вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же, то они называются повторными независимыми испытаниями.