Основные интегралы
1.
,
где n
≠ -1. 2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
Примеры решения задач
Задача
5.
Найти интеграл:
.
Решение. Предварительно преобразуем подынтегральную функцию, вводя степени с дробными и отрицательными показателями по формулам
,
.
Затем используем свойства 4, 3, а также табличный интеграл (1)
=
=
EMBED
Equation.3
=
=
=
Задача
6.
Найти интеграл:
.
Решение. Применяя свойства 4, 3 и табличные интегралы (3), (4), имеем
.
Задача
7.
Найти интеграл:
.
Решение.
Пусть t
= 3x
– 1, тогда
или
,
откуда
.
Выполним замену в подынтегральном
выражении
.
Вопросы для самопроверки
1. Какая функция называется первообразной для данной функции?
2. Дайте определение неопределенного интеграла от данной функции.
3. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
Тема 5. Определенный интеграл Методические указания
Под определенным
интегралом
от данной непрерывной функции
на данном отрезке [a;
b]
понимается соответствующее приращение
ее первообразной, то есть
.
Числа а
и b
называются соответственно верхним и
нижним пределом интегрирования. Обычно
разность
обозначают как
,
в силу чего формулу определенного
интеграла обычно записывают так
,
причем следует помнить, что сначала подставляется верхний предел интегрирования, а затем нижний.
Примеры решения задач
Задача
8.
Вычислить интеграл:
.
Решение. Используя свойства определенного интеграла, представим данный интеграл в виде суммы интегралов, для нахождения первообразных применяем табличный интеграл (1), а далее по формуле Ньютона – Лейбница вычисляем приращение первообразной.
=
+
=
=
=
=
.
Задача
9.
Вычислить интеграл:
.
Решение. Используем свойства определенного интеграла, табличные интегралы (1) и (4), формулу Ньютона – Лейбница. Получаем
=
-
=
+
=
=
=
.
Задача
10.
Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой
и прямой y
= x
+ 2.
Решение.
1. Изобразим данные линии на чертеже и
заштрихуем фигуру, площадь которой
нужно найти. Графиком функции
является парабола. Найдем производную
данной функции и, приравняв ее к нулю,
определим критическую точку
=
0. Отсюда х
= 2. Это абсцисса вершины параболы.
Ордината вершины
.
Найдем точки
пересечения параболы с осью Ох,
положив у
= 0. Тогда
или
.
Рисунок 3 – Фигура, ограниченной параболой и прямой
Решив данное квадратное уравнение, получим х1 = –2 и х2 = 6. Строим параболу (рис. 3).
2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. Положим х = 0, тогда у = 2. Положим х = 2, тогда у = 4. Строим прямую.
3. Площадь фигуры,
ограниченной сверху непрерывной кривой
,
снизу - непрерывной кривой
находится по формуле:
,
где a и b – абсциссы точек пересечения кривых.
Для нахождения точек пересечения данных линий, решим систему уравнений:
,
или
.
Решая полученное уравнение, получим х1 = -2 и х2 = 4, следовательно, а = -2; b = 4. Интеграл будет иметь вид
.