Тема 3. Производная и дифференциал функции Методические указания

Функциональной зависимостью называется такая взаимосвязь одной или нескольких независимых переменных величин с некоторой, зависимой от них, переменной величиной, при которой каждому значению независимых переменных соответствует строго определенное значение этой зависимой переменной.

Математическое выражение, устанавливающее вид взаимосвязи зависимой переменной с независимой, называется функцией и обозначается строчной латинской буквой f. Независимая переменная называется аргументом функции, и, как правило, обозначается строчной латинской буквой х, а зависимая переменная – у.

Например, . Здесь функцией является выражение . Если , то функция имеет вид .

Производной функции называется выражение, характеризующее быстроту изменения функции при изменении ее аргумента. Например, если мы имеем функцию , то, очевидно, быстрота ее изменения равна 5, то есть изменение аргумента на единицу приводит к изменению значения функции на 5 единиц. ( , а ).

В общем случае производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента . Очевидно, что если , то , и .

Производная функции обозначается штрихом около символа функции . Таким образом, согласно определению

.

Рассмотрим например нахождение производной степенной функции.

Пусть . Тогда, согласно определению,

.

Для устранения неопределенности раскроем скобки в числителе

Отсюда следует общая формула производной степенной функции . Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Основные формулы дифференцирования

1. . 6. .

2. . 7. .

3. . 8. .

4. . 9. .

5. . 10.

Рассмотрим примеры нахождения производных различных функций на конкретных примерах.

Задача 3. Найти производную функции

.

Решение. Преобразуем функцию у, введя степени с отрицательными и дробными показателями: и . Имеем:

.

Применив формулу дифференцирования алгебраической суммы, получим:

= .

Затем по формуле дифференцирования степенной функции

=

= .

Задача 4. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила дифференцирования алгебраической суммы (3) и произведения (4), имеем

.

Далее по формулам (7), (12), (13) получаем

.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. В чем заключается геометрический смысл производной?

3. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

4. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

5. Что называется производной второго порядка?

Тема 4. Неопределенный интеграл Методические указания

Часто бывает необходимо найти функцию по ее известной производной. Если на интервале (а, b) для двух функций и справедливо соотношение , то называется первообразной для функции . При этом, если – первообразная для , то при любой постоянной С функция , также является первообразной для . Например, для функции , ее первообразная может иметь вид , или , или , и т. п.

Неопределенным интегралом от функции называется общее выражение всех первообразных этой функции . Он обозначается символом и по определению

.

Разумеется, . Выражение называется подынтегральным выражением, а функция – подынтегральной функцией.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции отличается от этой функции на постоянную величину

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции в отдельности

.