Тема 1. Элементы аналитической геометрии на плоскости Методические указания
Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат.
Суть аналитической геометрии заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или системы уравнений, так что их геометрические свойства выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому можно находить длины отрезков, их ориентацию в пространстве, углы между ними, площади различных фигур и т. п., без построения чертежей с помощью линейки и циркуля, без измерения длин отрезков и углов между ними.
В аналитической геометрии наиболее широко используется так называемая декартова система координат, которая представляет собой две пересекающиеся под прямым углом оси, одна из которых направлена горизонтально слева направо и называется осью абсцисс, вторая – направлена снизу вверх, она перпендикулярна оси абсцисс и называется осью ординат. Точка пересечения осей обозначается буквой О и имеет нулевое значение как на оси абсцисс, так и на оси ординат.
Всю плоскость эти две оси разбивают на четыре части называемые четвертями или квадрантами (от латинского qwadro – четыре). Верхний правый квадрант называется первым, верхний левый – вторым, далее, двигаясь против часовой стрелки, – третий и четвертый. Любую точку М на плоскости можно определить двумя числами – расстояниями от этой точки до координатных осей. Эти числа называются координатами данной точки. Расстояние от точки М до оси ординат обозначается х, и называется абсциссой этой точки, расстояние до оси абсцисс обозначается у, и называется ординатой точки М.
Поэтому краткая запись положения точки на плоскости имеет вид М(х;у), где х и у некоторые числа.
у
М2(х2;
у2)
у1 N
М1 (х1; у1)
0 х1 х2 х
Рисунок 1 – Определение расстояния между двумя точками на плоскости
Если даны точки, М1 и М2, координаты которых известны, можно легко найти расстояние между ними. Как видно из рисунка 1, искомое расстояние это гипотенуза прямоугольного треугольника ΔМ1М2N. По теореме Пифагора
.
В то же время,
очевидно,
,
.
Тогда
.
Таким образом, используя формулы аналитической геометрии, можно найти уравнения прямых, координаты точек их пересечения, углы между ними и тому подобные характеристики геометрических объектов.
Задача 1. Координаты вершин треугольника А(–2; 5), В(10, –4), С(8, 10). Найти:
1) периметр треугольника АВС с точностью до 0,01;
4) уравнение стороны АВ в общем виде и ее угловой коэффициент;
3) координаты точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты CD;
Решение 1. По исходным данным построим чертеж исследуемого треугольника.
y
12
С
8
А
4 D Е
-4 0 4 8 12 x
-4 В
Рисунок 2 – Исследуемый треугольник АВС
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
P∆ABC = AB + BC + CA.
Длину каждой
стороны треугольника находим по формуле
расстояния между точками:
.
.
Итак: Р∆ABC = 15 + 14,14 + 11,18 ≈ 40,32.
2. Уравнение прямой,
проходящей через две точки А(x1;
y1)
и B(x2;
y2),
имеет вид:
.
Подставим в это уравнение значения
координат точек А
и В
.
Выполним преобразования
;
;
4(y
– 5) = -3(x
+ 2); 4y
– 20 = -3x
– 6,
отсюда общее уравнение прямой АВ: 3x + 4y – 14 = 0.
Для нахождения углового коэффициента прямой АВ приведем ее общее уравнение к виду y = kx + b:
4y
= -3x
+ 14,
,
откуда kAB
=
.
3. Точка К пересечения медиан делит медиану АЕ в отношении λ = 2 ׃ 1, считая от вершины А. Точка Е – середина отрезка ВС. Найдем ее координаты, используя формулы:
и подставляя в них координаты точек В и С:
.
Следовательно, Е(9;
3).
По свойству точки
пересечения медиан
Подставим значения координат и параметра
λ
в формулы:
Получаем
Итак,
точка пересечения медиан К(5
;
3
).
4. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, следовательно, их угловые коэффициенты удовлетворяют условию
,
откуда
.
Для составления уравнения высоты СD используем уравнение
y − y0 = k∙(x − x0 ).
Подставив значения координат точки С и угловой коэффициент kCD, получим уравнение высоты CD
y
− 10 =
(x
− 8), откуда 3 (y
− 10) = 4 (x
− 8), или 4x
− 3y
− 2 = 0.