Тема: Правильні многогранники. Площа поверхні призми. Площа поверхні піраміди.

1. Многогранник називається правильним, якщо всі його грані - рівні правильні многокутники, а всі вершини рівновіддалені від деякої точки. Цю точку називають центром правильного многогранника.

2. Куб - правильний многогранник, бо всі його грані - рівні квадрати, а всі вершини куба рівновіддалені від точки пере­тину його діагоналей.

Якщо сполучити відрізками кінці двох мимобіжних діаго­налей протилежних граней куба, то утвориться каркас пра­вильного тетраедра № 1. Адже кожна його грань - рівносторонній трикутник, а кожна вершина однаково віддалена від центра куба. Сполучивши відрізками центри суміжних граней куба, дістанемо каркас правильного окта­едра № 2.

№ 1 № 2 № 3 № 4

Існує п'ять видів правильних многогранників. Крім трьох названих, є ще правильний додекаедр № 3 і правильний ікосаедр № 4.

3. Назви тетраедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр у перекладі з грецької означають відповідно: чотиригранник, восьмигранник, дванадцятигранник і двадцятигран­ник. Куб називають ще правильним гексаедром.

Тема: Площі поверхні призми, піраміди, циліндри, конуса

І. Площа поверхні призми

1. Площею бічної поверхні призми називається сума площ всіх її бічних граней, позначається S_б.

2. Площа бічної поверхні прямої призми обчислюється за формулою

де L – бічне ребро; P_осн – периметр основи

3. Площа повної поверхні складається з суми площі бічної поверхні та подвійної суми площі основи тобто

ІІ. Площа поверхні піраміди

1. Площею поверхні піраміди називається сума площ всіх її бічних граней.

2. Площа бічної поверхні правильної піраміди обчислюється за формулою , де h – апофема; – периметр основи.

3. Площа повної поверхні піраміди обчислюється за формулою .

ІІІ. Площа поверхні циліндра

1. Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою

, де R – радіус кола, Н – висота циліндра.

2. Площа повної поверхні циліндра складається з суми площі бічної поверхні та подвійної суми площі основи тобто .

ІV. Площа поверхні конуса

1. Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою , де R- радіус кола, L – довжина твірної.

2. Площа повної поверхні складається з суми площі бічної поверхні та площі основи тобто .

Тема: Вибіркові характеристики закон великих чисел.

Вибірковий метод у статистиці

1. Ймовірність випадкової події ми означили як відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівно-можливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування. Таке означення ймовірності називається класичним.

Класичне означення ймовірності має певні недоліки, а саме:

а) За допомогою цього означення можна обчислювати ймовірність лише для скінченої кількості елементарних подій.

б) У випадку нескінченної кількості елементарних подій означення застосувати неможливо.

в) Обчислення кількості елементарних подій іноді дуже громіздке.

г) Висновок про рівноможливість елементарних подій робиться без логічних обґрунтувань.

2. Поряд з класичним означенням користуються також статистичним означенням ймовірності.

Проведемо випробування — кидання монети. Під час одноразового проведення випробування ми ніяких закономірностей не помітимо. Закономірності починають виявлятися тоді, коли експеримент виконують багато разів в однакових умовах. У таблиці подано результати експериментів з підкиданням монети різними дослідниками.

Таблиця

Дослідник	Ж. Бюффон	О. де Морган	К. Пірсон	В. Феллер	У. Джевонс	В. Рома-новський
Кількість підкидань монети - n	4040	4092	12000	10000	20480	80640
Кількість випадань герба -m	2048	2048	6019	4979	10379	40151
Відношення	0,5069	0,5005	0,5010	0,4979	0,5068	0,4979

З таблиці видно, що тобто відношення кількості випадань герба до загальної кількості підкидань монети, коливається навколо числа 0,5.

Дані таблиці показують, як передбачення того, що герб випадає з ймовірністю 0,5 добре узгоджується з дослідом.

3. Дамо статистичне означення ймовірності.

Нехай n – кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m – кількість тих випробувань, у яких відбувається подія А.

Відношення називається відносною частотою події А в даній серії випробувань, Виявляється, що в різних серіях випробувань відповідні частоти для великих n практично збігаються, коливаючись навколо деякого сталого значення Р(А), яке називається статистичною ймовірністю події:

Поняття статистичної ймовірності широко використовується в біології, медицині, інженерній справі, економіці та інших науках.

ІІ. Закон великих чисел

На практиці нерідко буває важко сказати, яка ймовірність якої-небудь події. В той же час можна на підставі випробувань (спостережень) сказати, яка частота появи події, якщо одне і те ж випробування повторюється багато разів.

Ще Якоб Бернуллі (1654—1705) — відомий швейцарський математик помітив, таку цікаву закономірність, яка носить назву «закону великих чисел»: чим більше виконується однотипних випробувань, тим ближче частота появи події до ймовірності цієї події. Точніше говорячи, теорема Бернуллі стверджує: - якщо в ряді випробувань ймовірність деякої події залишається для кожного _ випробування сталою і дорівнює р, то при достатньо великій кількості випробувань практично вірогідно, що частота появи події відрізняється від її ймовірності менше ніж га на як завгодно мале число .

Отже, теорема Бернуллі математично підтверджує нашу інтуїтивну переконаність у тому, що при великій кількості випробувань повинна

виконуватися наближена рівність .

У випадках, коли ймовірність події невідома, закон великих чисел дозволяє прийняти за ймовірність події її частоту, обчислену достатньо великій кількості випробувань.

Наприклад. Розглядаючи дані про народження дітей, можна - зробити висновок: частота народження хлопчиків при достатньо великій кількості спостережень за народженістю близька до числа 0,511, тому це число і приймається за ймовірність народження хлопчика. Знання цієї ймовірності дозволяє робити демографічні прогнози.