Тема: Правила диференціювання

Правила знаходження похідної суми, різниці, добутку й частки функцій. У запису приймемо значення функцій f і g та їх похідних у точці х: ;

; ; .

Правила диференціювання

1. - постійний множник можна виносити за знак похідної.

2. - похідна суми (різниці) диференційованих функцій дорівнює сумі (Різниці) їх похідних.

3. .

4. .

5. Приклади:

а) ; ;

б) ;

;

в) ; ;

г) ;

.

6. Приклад 1. Знайти похідну функції:

а) ; б) .

Приклад 2. Знайти значення похідної функції .

(Відповідь: )

Приклад 3. Знайти похідну функції: ; б) .

(Відповідь: а) ; б) ).

Тема: Розв'язування вправ на знаходження похідної складеної функції

Знайти похідну:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. .

Тема: Похідна складеної функції.

Самоперевірка

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ;

12. .

Тема: Розв’язування задач на обчислення роботи змінної сили та маси неоднорідного стрижня

1.Нехай тіло рухається по осі ОХ, в кожній точці якої прикладена деяка сила F=F(х). Обчислимо роботу, яку треба виконати при переміщенні із точки х₁ в точку х₂ . на маленькому відрізку шляху від точки х до точки х+∆х можна вважати силу постійною, яка дорівнює F(х). Тоді ∆А(х) = F(х)∆х. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку [х₁; х₂] можна записати у вигляді інтеграла:

2. Розглянемо задачу обчислення маси неоднорідного стержня, якщо нам відомо, як змінюється його лінійна густота р(х). Візьмемо відрізок [х; х+∆х]. Вважаючи, що на цьому відрізку густина постійна, матимемо ∆m(х)=р(х)∆х, звідси:

3. Поставимо задачу обчислити заряд q, що переноситься за проміжок часу [t₁; t₂] через переріз провідника. Нехай задано закон струму І=І(t) в залежності від часу. Тоді на малому проміжку часу [t; t+∆t] можна вважати силу струму постійною, яка дорівнює І(t), а і, отже,

4. Приклади:

а) Пружина розтягується на 0,02 м під дією сили 60Н. Яку роботу виконує ця сила розтягуючи пружину на 0,12 м?

Розв’язання:

За законом Гука F=kx, знаходимо тобто

За формулою знайдемо А.

За умовою

В: 21,6 дж

б) Знайти масу стрижня 35 см завдовжки, якщо його лінійна густина змінюється законом (кг/м)

Розв’язання:

35 см = 0,35м; за формулою знаходимо m.

В: ≈1,3 кг.

5.Розвязати задачі:

а) Обчислити роботу, яку потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,06м, якщо сила 12Н розтягує її на 0,01 м. В: 2,16 дж.

б) Знайти масу неоднорідного стрижня довжина якого 40 см, якщо його лінійна густина (кг/м)

В: ≈ 0,44 кг

Тема: Векторний та мішаний добуток векторів

1. Векторним добутком векторів і називається третій , який задовольняє умовам:

а) ;

б) перпендикулярний площині;

в) кратчайший поворот від до видно з кінця проти часової стрілки.

Рисунок 1

2. Позначають і обчислюють за формулою:

=

увага: .

3. Геометричний зміст

= S паралелограма побудованого на .

Рисунок 2

4. Приклади:

а) Знайти векторний добуток векторів, якщо і ).

В. (-1;1;1).

б) Знайти площу паралелограма побудованого на векторах і .