1.7. Система лінійних рівнянь з невідомими. Умови сумісності і несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі

1.7.1. Система лінійних рівнянь з невідомими. На які питання дає відповіді теорія лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь з невідомими має вигляд:

(1)

У загальному випадку число рівнянь у системі не обов’язково співпадає з числом невідомих: може бути менше, може дорівнювати або бути більшим за число .

Числа (дійсні або комплексні) називаються коефіцієнтами системи; – вільними членами; – невідомими.

Розглянемо декілька прикладів.

Приклад 1.

Ця система двох рівнянь із трьома невідомими розв’язків не має, тому що будь-яка трійка чисел, що задовольняє першому рівнянню, не може задовольняти другому.

Приклад 2.

Легко бачити, що ця система має єдиний розв’язок: , .

Приклад 3.

Пара чисел є одним з розв’язків цієї системи трьох рівнянь із двома невідомими; – інший розв’язок. Ця система має нескінченно багато розв’язків: значення , при кожнім задовольняють системі.

Наведені приклади систем показують, що, узагалі кажучи, система може або зовсім не мати розв’язків, або мати єдиний розв’язок, або мати їх множину.

Відносно кожної системи лінійних рівнянь можуть бути поставлені наступні питання:

1. Сумісна чи ні задана система?

2. У випадку, якщо система сумісна, як визначити, скільки вона має розв’язків – один або множину?

3. Як знайти всі розв’язки системи?

Відповіді на ці питання дає теорія лінійних рівнянь.

1.7.2. Умови сумісності і несумісності лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі

Дослідимо в загальному виді довільну систему лінійних рівнянь з невідомими (1).

Розглянемо матрицю цієї системи і її розширену матрицю :

.

Ясно, що ранги цих матриць зв’язані нерівністю , при цьому ранг матриці може бути лише на одну одиницю більше .

Було встановлено, що ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків. Тому, якщо рядки розширеної матриці , тобто рівняння системи (1) лінійно незалежні, то ранг матриці дорівнює числу її рівнянь , якщо лінійно залежні, то .

Питання про сумісність системи (1) цілком у загальному виді розглядається наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Для того щоб система лінійних рівнянь була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці цієї системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Доведення.

Необхідність. Нехай система (1) сумісна і – який-небудь її розв’язок. Тоді мають місце рівності:

(2)

У розширеній матриці системи (1) виконаємо наступні елементарні перетворення. З останнього стовпця віднімемо перший стовпець, помножений на , другий, помножений на і т.д., нарешті на -й стовпець, помножений на . Одержимо матрицю:

. (3)

У силу (2) останній стовпець (3) складається з нулів.

Тому що матриця виходить із за допомогою елементарних перетворень, то . З іншого боку, відрізняється від тільки стовпцем з нулів, тому . Отже, і необхідна умова теореми доведена.

Достатність. Припустимо, що ранги матриць і рівні і доведемо, що система (1) сумісна.

Нехай ранг матриці позначається через . Серед мінорів -го порядку матриці мається мінор, відмінний від нуля. Не порушуючи спільності міркування можна вважати, що відмінний від нуля мінор -го порядку розташований у лівому верхньому куті:

.

(Це завжди можна зробити за допомогою зміни нумерації невідомих і перестановок рівнянь у системі).

Виділимо в системі (1) перші рівнянь і складемо з них нову систему:

(4)

Помітимо, що у випадку система (4) буде збігатися із системою (1).

Покажемо, що системи (1) і (4) рівносильні (при виконанні умов ).

Той факт, що кожний розв’язок системи (1) (якщо він існує) є також і розв’язком системи (4), очевидний. Необхідно перевірити, що і, навпаки, кожний розв’язок системи (4), якщо він існує, є також розв’язком системи (1).

Нехай – довільний розв’язок системи (4), таким чином мають місце рівності.

(5)

Числа задовольняють, звичайно, першим рівнянням системи (1). Ми повинні переконатися, що вони задовольняють і останнім рівнянням, тобто, що при справедливі рівності:

. (6)

Розглянемо розширену матрицю системи:

і виконаємо її як і при доведенні необхідності, елементарні перетворення: з останнього стовпці віднімемо всі інші стовпці, помножені відповідно на . Одержимо матрицю:

Перші елементів останнього стовпця матриці дорівнюють нулю в силу рівностей (5). Що стосується інших елементів останнього стовпця, то про них нам поки нічого не відомо. Нашою задачею є доведення рівностей (6) для усіх .

Але доведення цих рівностей рівносильні доведенню того, що всі інші елементи останнього стовпця матриці також дорівнюють нулю. Покладемо для стислості (при ):

. (7)

Тоді матрицю можна переписати так:

.

Матриця отримана з за допомогою елементарних перетворень, тому ранг також дорівнює . Але в такому випадку всі мінори порядку дорівнюють нулю. Зокрема, дорівнює нулю і мінор -го порядку, складений зі стовпців з номерами і з рядків з номерами (де -будь-які з чисел ), тобто

.

Розкладаючи цей визначник за елементам останнього стовпця, одержимо:

.

Але , тому отримана нерівність свідчить про те, що . Таким чином, усі числа (7) дорівнюють нулю, а отже, справедливі рівності (6). Це доводить, що всякий розв’язок системи (4) задовольняє всім рівнянням системи (1).

Встановлено, що системи (1) і (4) рівносильні. Питання про існування розв’язків у системі (1) зведено до питання про існування розв’язків у системі (4).

Якщо , то система (4) є система рівнянь з невідомими з не рівним нулю визначником ( ). Відповідно до теореми Крамера вона має єдиний розв’язок. Отже, система (1) також має єдиний розв’язок.

У випадку невідомим надамо довільні значення , і розглянемо систему:

.

Визначник цієї системи рівнянь з невідомими не дорівнює нулю, а тому вона має єдиний розв’язок:

.

Сукупність чисел буде, мабуть, розв’язком системи (4). Так що в цьому випадку система (4) має нескінченну множину розв’язків (адже значення для невідомих можна вибрати нескінченним числом способів). Отже, система (1) при також має нескінченно багато розв’язків. Таким чином, якщо , то система (1) сумісна.

Теорема Кронекера-Капеллі доведена цілком.

З доведення теореми Кронекера-Капеллі легко одержати відповідь на питання про число розв’язків (у випадку її сумісності).

Теорема про число розв’язків

Нехай для системи лінійних рівнянь з невідомими виконана умова сумісності, тобто ранг матриці з коефіцієнтів системи дорівнює рангу її розширеної матриці. Тоді, якщо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих , то система має єдиний розв’язок. Якщо ранг матриці системи менше числа невідомих , то система невизначена і має нескінченну множину розв’язків, а саме: деяким невідомим можна надавати довільні значення, тоді невідомих, які залишилися, визначаються вже єдиним чином.

Результати дослідження системи (1) наведемо у виді схеми (рис. 1.1):

Н ехай . змінних називаються основними (або базисними), якщо визначник матриці з коефіцієнтів при них (тобто базисний мінор) відмінний від нуля. Інші називаються неосновними (або вільними).

Розв’язок системи (1), у якій усі неосновних змінних дорівнюють нулю, називається базисним.

Оскільки кожній розбивці змінних на основні і неосновні відповідає один базисний розв’язок, а число способів розбивки не перевершує числа сполучень , то і кількість базисних розв’язків не більше . Таким чином, сумісна система лінійних рівнянь з змінними має нескінченну множину розв’язків, серед яких базисних розв’язків скінчене число, не більше , де .

Правило розв’язання довільної системи лінійних рівнянь

1. Обчислюючи ранги основної і розширеної матриці системи, з’ясовують питання про її сумісність. Якщо система сумісна, то знаходять який-небудь базисний мінор порядку .

2. Береться рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор; інші рівняння відкидають. Невідомі, коефіцієнти які входять у базисний мінор, називають головними і залишають ліворуч, а інші невідомих називають вільними і переносять у праві частини рівнянь.

3. За правилом Крамера або методом Гаусса знаходять значення головних невідомих через вільні. Отримані рівності являють собою загальний розв’язок системи.

4. Надаючи вільним невідомим будь-які числові значення, знаходять відповідні значення головних невідомих. Тим самим знаходять часткові розв’язки даної системи рівнянь.

Приведена схема не означає, що для розв’язку системи (1) у загальному випадку необхідно обчислювати окремо, а потім порівнювати ранги матриці системи і розширеної матриці . Досить відразу застосувати метод Гаусса.