3.2.6. Точка перетину прямої і площині. Кут між прямою і площиною. Умова паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Нехай задані рівняння прямої лінії в просторі

(*)

і рівняння площини

. (**)

Для визначення координат точки перетину прямої лінії з площиною потрібно спільно розв’язати ці рівняння.

Прирівнявши рівність до , отримаємо

, , .

Підставляючи координати , записані через параметр , у рівняння , знайдемо спочатку , а потім і самі координати точки перетину.

Д ля розгляду умов паралельності і перпендикулярності прямої і площини знайдемо кут між прямою і площиною.

Нехай – кут між прямою і площиною. Його безпосередньо знайти не можна, але можна знайти кут між направляючим вектором прямої і нормальним вектором площини і, віднявши його від , визначимо (рис. 3.12). Зі скалярного добутку векторів з урахуванням, що , , маємо

.

Тоді у випадку паралельності прямої і площини кут між ними дорівнює нулю. Отже, , а це значить, що

– умова паралельності прямої і площини.

Зауваження.

Ця умова отримується відразу, якщо замітимо, що вектори і перпендикулярні, і, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Умова перпендикулярності прямої і площини співпадає з умовою паралельності цієї прямої і перпендикуляра до площини, тобто .

Приклад 1. Знайти координати точки перетину прямої і площини .

Відповідь: .

Приклад 2. Знайти кут між прямою і площиною .

Відповідь: .

Приклад 3. Яке повинне бути значення , щоб пряма була паралельна площини .

Відповідь: .

Приклад 4. Провести через пряму площину, паралельну прямій .

Відповідь: .

Приклад 5. Через точку провести пряму, паралельну площини так, щоб вона перетинала пряму .

Відповідь: .

Приклад 6. Скласти рівняння площини, що проходить через точку і пряму .

Відповідь: .

3.3. Лінії другого порядку

3.3.1. Коло

Загальне рівняння другого степеня відносно змінних і може містити члени другого степеня , першого степеня , а також нульового степеня (вільний член).

Відповідно до цього загальне рівняння другого степеня можна записати у вигляді:

, (1)

при цьому передбачалося, що хоча б один з коефіцієнтів рівняння (1) не дорівнює нулю.

Лінії, що відповідають цьому рівнянню, називаються кривими 2-го порядку.

Найпростішою такою кривою є коло.

Коло. Колом називається множина усіх точок площини, відстані яких від заданої точки площини (центра кола) дорівнюють сталому числу (радіусу).

Круг складається з кола і внутрішніх точок.

Коло з центром у точці і радіуса має рівняння:

. (2)

Це рівняння називають канонічним, рівнянням кола. Можна показати, що рівняння (2) є рівнянням другого степеня.

Замітимо, що в рівнянні кола відсутній член з добутком поточних координат і коефіцієнти при квадратах поточних координат рівні між собою.

3.3.2. Еліпс

Е ліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала і більша від відстані між фокусами (рис. 3.13).

Виберемо систему прямокутних декартових координат так, щоб вісь абсцис проходила через обидві задані точки і , а початок координат знаходився в середині відрізка .

Нехай одна з точок розглянутої множини. Позначимо через відстань між заданими точками і , а через задану суму відстаней і . Точка має координати , точка – .

, .

За означенням еліпса – є величина стала, рівна , тоді маємо:

, (3)

або

;

;

,

або

;

;

;

;

.

Розділивши обидві частини останнього рівняння на , одержимо:

.

О скільки (сума двох сторін трикутника більше  - ї сторони), то .

Покладемо

. (4)

Тоді остаточно одержимо рівняння:

. (5)

Зробимо деякі зауваження про форму лінії, що відповідає отриманому рівнянню (рис.3.14).

Оскільки і , то крива симетрична відносно осей координат, а тому і відносно початку координат. Зі зростанням від до , спадає від до . Точки кривої існують лише в прямокутнику , . Точка перетину осей симетрії – центр симетрії, вона називається центром еліпса.

Точки і називаються фокусами еліпса, числа і півосями еліпса, точки перетину еліпса з його осями симетрії – вершинами еліпса.

Зі зміною змінюється форма еліпса. Якщо прямує до нуля, тобто фокуси еліпса зливаються, то прямує до й еліпс стає колом з рівнянням , тобто коло є частинний випадок еліпса, коли півосі еліпса рівні між собою.

Якщо ж прямує до , то прямує до нуля, і, отже, еліпс стискується уздовж осі ординат. Отже, відношення може служити мірою еліпса, мірою його відхилення від кола.

Число називається ексцентриситетом еліпса.