Доведення.

Обернена матриця обчислюється за формулою , де – матриця приєднана до матриці . Оскільки елементи матриці є алгебраїчні доповнення елементів матриці , транспонованої до , то рівність (7) запишемо в розгорнутому виді:

.

Враховуючи, що , одержимо після множення матриць

,

звідки випливає, що для будь-якого

.

На основі властивості визначників (властивість 10) , де – визначник матриці, отриманий з матриці заміною - го стовпця стовпцем вільних членів. Отже, .

Формули Крамера фактично були отримані в окремому випадку при розв’язанні системи (4) при .

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

а) методом оберненої матриці; б) за формулами Крамера.

Розв’язання. а) Позначимо ; ; .

Тоді в матричній формі дана система має вигляд: . Знайдемо визначник . Оскільки , то матриця – невироджена, і існує обернена матриця .

Матрицю знаходимо по розглянутому раніше алгоритму

.

Тепер за формулою (7) , тобто розв’язок системи .

б) Знайдемо визначник системи . Оскільки , то за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок.

Обчислимо визначники матриць , , , отримані з матриці , заміною відповідно першого, другого і третього стовпців стовпцем вільних членів:

;

;

.

; ; .

Відповідь: .

Істотним недоліком розв’язання систем лінійних рівнянь з змінними за формулами Крамера і методом оберненої матриці є їх велика трудомісткість, зв’язана з обчисленням визначників і знаходженням оберненої матриці.

1.6. Метод Гаусса

1.6.1. Метод Гаусса

Розглянемо розв’язок системи лінійних рівнянь з невідомими

(1)

Метод Гаусса – метод послідовного виключення змінних полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи східчастого (або трикутного) виду з якої, послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних знаходяться всі інші змінні.

Це історично перший найбільш розповсюджений точний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.

Легко перевірити, що елементарні перетворення приводять дану систему рівнянь в еквівалентну систему.

Припустимо що в системі (1) коефіцієнт при змінній у першому рівнянні (якщо це не так, то перестановкою рівнянь місцями досягнемо того, що ).

Крок 1.

Помноживши перше рівняння на підходящі числа (а саме на ) і додаючи отримані рівняння відповідно до другого, третього, …, - того рівняння системи (1), виключимо змінну з усіх наступних рівнянь, починаючи з другого, одержимо

(2)

де буквами з верхнім індексом (1) позначені нові коефіцієнти, отримані після першого кроку.

Крок 2.

Припустимо що (якщо це не так то відповідною перестановкою рівнянь або змінних зі зміною їх номерів досягнемо того щоб ).

Помножимо друге рівняння на підходящі числа і додаючи отримані рівняння відповідно до третього, четвертого, …, - того рівнянь системи виключимо змінну з усіх наступних рівнянь, починаючи з третього.

Продовжуючи процес послідовного виключення змінних після -го кроку одержимо систему:

(3)

Число нуль в останніх рівняннях означає, що їх ліві частини мають вигляд

.

Якщо хоча б одне з чисел не дорівнює нулю, то відповідна рівність суперечлива, і система (1) несумісна.

Таким чином, для будь-якої сумісної системи числа в системі (3) дорівнюють нулю.

У цьому випадку останні рівнянь у системі (3) є тотожностями і їх можна не брати до уваги при розв’язанні системи (1). Очевидно, що після відкидання «зайвих» рівнянь можливі два випадки:

а) число рівнянь системи (3) дорівнює числу змінних тобто (у цьому випадку система (3) має трикутний вигляд);

б) (у цьому випадку система (3) має східчастий вигляд).

Перехід системи (1) до рівносильної їй системи (3) називається прямим ходом методу Гаусса, а знаходження змінних із системи (3) – зворотним ходом.

Перетворення Гаусса зручно проводити, здійснюючи перетворення не із самими рівняннями, а з матрицями їхніх коефіцієнтів. Така матриця має вигляд

і називається розширеною матрицею системи (1), тому що в неї, окрім матриці системи , додатково включений стовпець вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання.

Крок 1.

Оскільки , то помноживши перший рядок матриці на , , і додаючи отримані рядки відповідно до другого, третього і четвертого рядків виключимо змінну з усіх рядків, починаючи з другого

~ ~

В отриманій новій матриці , тому поміняємо місцями другий і третій рядки.

~ ~ ~

Крок 2.

Оскільки тепер , то помноживши другий рядок на , а четвертий на і складаючи, одержимо

~ ~

Крок 3.

Враховуючи, що , множимо третій рядок на , а четвертий на і складаємо, одержимо

~ .

Перейдемо від матричного запису до запису у виді системи.

.

Використовуючи зворотний хід методу Гаусса, знайдемо з четвертого рівняння ,

із третього рівняння ,

із другого рівняння ,

з першого рівняння .

Тобто розв’язком системи є .

Приклад 2. Методом Гаусса розв’язати систему рівнянь

.

Розв’язання. Перетворимо розширену матрицю системи:

~ ~ .

Отже, рівняння, що відповідає третьому рядку матриці, суперечливе, воно привелося до невірної рівності , тому дана система несумісна.