1.4. Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці

1.4.1. Елементарні перетворення матриці. Обчислення рангу матриці

Назвемо елементарними перетвореннями матриці наступні:

1. Відкидання нульового рядка (стовпця).

2. Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.

3. Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.

4. Додавання до кожного елемента одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.

5. Транспонування матриці.

Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.

При вивченні властивостей визначників було показано, що при перетвореннях квадратних матриць їхні визначники або зберігаються, або множаться на число, не рівне нулю. У результаті зберігається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів даної матриці, тобто її ранг не змінюється.

За допомогою елементарних перетворень можна привести матрицю до так званого східчастого виду, коли при обчисленні її рангу не виникає труднощів.

Матриця називається східчастою, якщо вона має вигляд:

, (1)

де , ; .

Зауваження. Умова завжди може бути досягнута транспонуванням матриці.

Очевидно, що ранг східчастої матриці дорівнює тому що містить мінор - го порядку; не рівний нулю:

.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, узагалі кажучи, рівними, але їхні ранги рівні. Якщо матриці й еквівалентні, то це записується так: .

Канонічною матрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять підряд кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад:

.

За допомогою елементарних перетворень рядків і стовпців будь-яку матрицю можна привести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць на її головній діагоналі.

Для рангів матриць справедливі наступні співвідношення:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. , якщо – квадратна матриця і ;

6. , де – число стовпців матриці або рядків матриці .

Обчислення рангу методом обведення

Викладемо ще один спосіб обчислення рангу матриці, який не потребує приведення її до канонічного виду.

Теорема. Нехай матриця має відмінний від нуля мінор порядку і всі мінори - го порядку матриці , що містять (обрамляючі мінори), дорівнюють нулю. Тоді ранг матриці дорівнює .

Правило обчислення рангу матриці

Шукаємо мінор першого порядку або відразу мінор другого порядку, відмінний від нуля. Потім обчислюємо його обведені мінори наступного порядку, поки не знайдемо серед них відмінного від нуля.

Якщо вже знайдений відмінний від нуля мінор - го порядку , то обчислюємо мінори - го порядку, що обводять мінор . Якщо усі вони дорівнюють нулю або таких мінорів узагалі немає (у випадку, коли матриця містить стовпців або рядків), то ранг матриці дорівнює . У противному випадку цей процес продовжуємо.

Приклад 1. Знайти ранг матриці методом елементарних перетворень.

Розв’язання.

.

1. З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки;

2. З другого, третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на і ;

3. З третього рядка віднімемо другий.

Очевидно, що ранг матриці дорівнює .

.

Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на підходящі числа, із усіх наступних, обернемо у нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на підходящі числа, з наступних, обернемо у нуль всі елементи другого рядка, крім другого й одержимо канонічну матрицю.

.

Приклад 2. Обчислити ранг матриці методом обведення.

Розв’язання. , .

Оскільки мінор другого порядку , а обидва мінори третього порядку, що його обводять дорівнюють нулю

, ,

то .