Доведення.

Необхідність. Нехай матриця має обернену , тобто . За властивістю визначників (властивість 12) маємо

, тобто і .

Достатність. Нехай . Розглянемо квадратну матрицю - го порядку , яка носить назву приєднаної (ще в літературі вона зустрічається як взаємна або союзна), елементи якої є алгебраїчними доповненнями елементів матриці , транспонованої до : .

Тоді елементи добутку матриць визначаються за правилом множення матриць:

Тому матриця є діагональною, елементи її головної діагоналі дорівнюють визначнику даної матриці:

.

Аналогічно доводиться, що добуток на дорівнює тій же матриці : . Звідси випливає, що якщо в якості оберненої матриці взяти матрицю

, (2)

то добутки і дорівнюють одиничній матриці - го порядку:

.

Доведемо єдиність оберненої матриці. Припустимо, що існують ще матриці і такі, що і , де матриця отримана за формулою (2), і при цьому виконуються рівності: і . Тоді, помноживши на зліва перше з них, одержуємо: , звідки , тобто . Аналогічно помноживши другу рівність на зліва, одержуємо . Єдиність доведена.

Алгоритм обчислення оберненої матриці

1. Знаходимо визначник даної матриці. Якщо , то матриця – вироджена і оберненої матриці не існує. Якщо , то матриця – невироджена і обернена матриця існує.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів даної матриці .

3. Складаємо приєднану матрицю , шляхом транспонування алгебраїчних доповнень .

4. Обчислюємо обернену матрицю за формулою (2).

5. Перевіряємо правильність обчислення оберненої матриці , виходячи з її означення .

Приклад. Знайти обернену матрицю: .

Розв’язання.

1. Визначник матриці , тобто матриця – невироджена і обернена матриця існує.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

; ; ; ; ; ; ; ; .

3°. Складаємо приєднану матрицю , з огляду на, що

.

4°. Обчислюємо обернену матрицю

.

5°. Перевіряємо правильність обчислення оберненої матриці за формулою:

.

Для невироджених матриць виконуються наступні властивості:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

1.3.2. Ранг матриці. Властивості рангу

Для розв’язання і дослідження ряду математичних і прикладних задач важливе значення має поняття рангу матриці.

У матриці розміру викреслюванням будь-яких рядків і стовпців можна отримати квадратні підматриці - го порядку, де . Очевидно, що матриця має мінори будь-якого порядку від до найменшого з чисел і .

Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці знайдеться, принаймні, один мінор, порядок якого буде найбільшим.

Означення. Рангом матриці називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.

Ранг матриці позначається , або .

З означення випливає:

а) ранг матриці не перевищує меншого з її розмірів, тобто ;

б) тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто ;

в) для квадратної матриці - го порядку тоді і тільки тоді, коли матриця – невироджена.

Приклад. Обчислити ранг матриці: .

Розв’язання.

Матриця має четвертий порядок, тому . Однак , тому що матриця містить нульовий стовпець, тому . Усі підматриці третього порядку теж містять нульовий стовпець і тому мають нульові визначники, отже . Усі підматриці другого порядку або мають нульовий стовпець (другий або четвертий), або мають пропорційні стовпці (перший і третій), тому теж мають нульові визначники; таким чином . Оскільки матриця містить ненульові елементи, тобто невироджені підматриці першого порядку, то .