1.2.2. Мінори й алгебраїчні доповнення

Нехай дана квадратна матриця - ого порядку. Мінором елемента матриці - ого порядку називається визначник матриці - го порядку, отриманий з матриці викреслюванням - того рядка і -го стовпця.

Наприклад, мінором елемента матриці третього порядку буде:

.

Кожна матриця - ого порядку має мінорів -го порядку.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці - ого порядку називається його мінор, узятий зі знаком : , тобто алгебраїчне доповнення збігається з мінором, коли сума номерів рядка і стовпця – парне число, і відрізняється від мінору знаком, коли – непарне число.

Наприклад, .

Приклад. Знайти алгебраїчні доповнення всіх елементів матриці:

.

Розв’язання. ; ; ;

; ; ;

; ; .

2. Властивості визначників

1. Якщо який-небудь рядок (стовпець) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює .

2. При транспонуванні матриці її визначник не змінюється: .

3. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) матриці помножити на число , то її визначник збільшиться на число .

4. Якщо один визначник отримано з іншого перестановкою двох рядків (стовпців), то всі члени першого визначника будуть членами і другого, але зі зворотними знаками, тобто від перестановки двох рядків (стовпців) визначник лише змінює знак.

5. Якщо квадратна матриця містить два однакові рядки (стовпці), то її визначник дорівнює нулю.

6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи -го рядка визначника -го порядку представлені у вигляді суми двох доданків:

, ,

то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких усі рядки, крім -го –

такі ж, як і в заданому визначнику, а -й рядок в одному з доданків складається з елементів , а в іншому – з елементів .

8. Сума добутків елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює , тобто при .

9. Якщо один з рядків матриці є лінійна комбінація його інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

10. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на те саме число.

11. Сума добутків довільних чисел на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) дорівнює визначнику матриці, отриманої з даної заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа .

12. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їхніх визначників: , де , і – матриці -го порядку.

1.3. Особливі і неособливі матриці

1.3.1. Особливі і не особливі матриці. Обернена матриця

Якщо визначник матриці відмінний від нуля , то така квадратна матриця називається невиродженою, або не особливою; у протилежному випадку (при ) – виродженою, або особливою.

У теорії матриць операція ділення заборонена, замість неї вводиться операція знаходження оберненої матриці.

Для кожного числа існує обернене число таке, що добуток . Для квадратних матриць теж вводиться аналогічне поняття.

Означення. Матриця називається оберненою відносно квадратної матриці , якщо при множенні цієї матриці на дану як праворуч, так і ліворуч виходить одинична матриця:

. (1)

З визначення випливає, що тільки квадратна матриця має обернену; у цьому випадку і обернена матриця є квадратною того ж порядку.

Однак не кожна матриця має обернену.

Якщо є необхідною і достатньою умовою існування числа , то для існування матриці такою умовою є вимога .

Теорема. (Необхідна і достатня умови існування оберненої матриці).

Обернена матриця існує (і єдина) тоді і тільки тоді, коли дана матриця невироджена.