3.1.5. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих

Прямі паралельні, якщо у них рівні кути нахилу до осі , тобто , а отже, або .

– умовою паралельності двох прямих є рівність їх кутових коефіцієнтів.

Кут між взаємно перпендикулярними прямими дорівнює

, звідси ;

,

, або – прямі взаємно перпендикулярні, якщо їх кутові коефіцієнти зворотні по абсолютній величині і протилежні по знаку.

3.1.6. Відстань від точки до прямої

Задане загальне рівняння прямої (1) і точка . Знайдемо відстань від точки до прямої (1). Візьмемо точку на цій прямій (рис.3.6).

Тоді відстань від точки до прямої дорівнює проекції вектора на вектор нормалі . Записуємо аналітичний вираз для шуканої відстані:

.

Оскільки , то остаточно маємо:

.

3.2. Площина. Пряма в просторі. Взаємне розміщення прямої і площини в просторі

3.2.1. Рівняння площини у векторній формі. Нормальне рівняння площини. Загальне рівняння площини і його дослідження

П ри переміщенні точки по площині радіус-вектор змінюється так (рис. 3.7), що увесь час зв’язаний деякою умовою:

.

Це загальна властивість усіх точок площини.

.

Таким чином, – рівняння площини у векторній формі.

Оскільки , а вектор , то

– нормальне рівняння площини в координатній формі.

З іншої сторони: усяка площина може бути представлена рівнянням першого степеня щодо поточних координат.

Теорема. Усяке рівняння першого степеня між трьома змінними визначає площину

.

Дослідження загального рівняння площини:

1. – площина проходить через початок координат, оскільки , ця точка належить площині;

2. , – площина паралельна осі ;

3. , – площина паралельна осі ;

4. , – площина паралельна осі ;

5. , – площина проходить через вісь ;

6. , – площина проходить через вісь ;

7. , – площина проходить через вісь ;

8. , – площина перпендикулярна до осі ;

9. , – площина перпендикулярна до осі ;

10. , – площина перпендикулярна до осі ;

11. , – площина ;

12. , – площина ;

13. , – площина .

3.2.2. Рівняння площини, що проходить через одну і три точки

_{, тоді}

Вектор, , де – нормальний вектор площини (рис. 3.8).

З умови перпендикулярності двох векторів слідує . Прийнявши до уваги, що , , , і записуючи скалярний добуток векторів у координатній формі, одержимо

– рівняння площини, що проходить через одну точку.

Нехай на площині задані три точки , , , що не лежать на одній прямій (рис. 3.9). Ці точки однозначно визначають площину. Знайдемо її рівняння.

В ізьмемо на площині довільну точку і визначимо вектори:

_,

_,

_.

Оскільки усі вектори лежать в одній площині , то вони компланарні. А з умови компланарности випливає, що мішаний добуток векторів , або . Це можна записати так:

.

Одержали рівняння площини, що проходить через три точки.