Проекція вектора на вісь

Нехай на площині дано вектор . Спроектуємо його початкову і кінцеву точку на вісі і (рис 2.3).

В ектор , що лежить на осі називається геометричною проекцією вектора на вісь .

Вектор , який лежить на осі називається геометричною проекцією вектора на вісь .

Числа, відповідаючи значенню векторів і називаються алгебраїчними проекціями вектора відповідно на осі і .

Основні властивості проекцій векторів

1°. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута нахилу вектора до цієї осі

; .

2°. Проекція вектора перпендикулярного осі дорівнює нулю.

3°. При паралельному переносі вектора його проекції не змінюються.

4°. Скалярний множник можна виносити за знак проекції.

5°. Проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі проекції цих векторів на дану вісь.

2.1.2. Лінійна залежність і незалежність векторів, базис. Розкладання вектора по ортонормованому базису. Напрямні косинуси. Довжина вектора

Нехай , ,..., – деякі вектори; – дійсні числа.

Вектор називається лінійною комбінацією векторів , ,..., (з коефіцієнтами ).

Якщо , то комбінація називається тривіальною, в протилежному випадку нетривіальною.

Зображення вектора у вигляді лінійної комбінації векторів , ,..., називається розкладом вектора по векторам , ,..., .

Вектори , ,..., називаються лінійно незалежними, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю, коли всі .

Вектори , ,..., називаються лінійно залежними, якщо існує нульова лінійна комбінація за умови, що хоча б один множник .

Базис. Розкладання вектора по базису

Нехай і не колінеарні вектори (ознака колінеарності: вектор колінеарний не нульовому вектору , тоді і тільки тоді, коли існує таке число , що ).

Відкладемо дані вектори від однієї точки , . Позначимо через площину означену точками (рис. 2.4). Будь який вектор компланарний векторам і , за означенням паралельний площині . Якщо побудувати вектор , то точка буде належати площині .

Проведемо через точку пряму паралельно прямій . Оскільки і не

к олінеарні, прямі і перетинаються в деякій точці . Згідно означенню колінеарності векторів знайдеться таке дійсне число , що . Тоді вектор ( по аналогії).

(1)

Впорядковано пара неколінеарних векторів і називаються базисом в площині .

Всякий вектор , компланарний векторам і , які утворюють базис, можна уявити у вигляді (1). Числа і називаються координатами вектора в базисі , а сама рівність (1) – розкладом вектора по базису .

Той факт що числа і є координатами вектора в базисі записується так .

Базисом в просторі називається впорядкована трійка некомпланарних векторів.

Аналогічно розкладу на площині можна записати, що

.

Коефіцієнти розкладу вектора по базису називається координатами вектора в базисі . Той факт, що числа , , є координатами вектора в базисі, записується так .

Три одиничних попарно перпендикулярних вектори, взятих в обумовленій черзі, називають ортонормованим (або прямокутним) базисом в просторі.

В ектори прямокутного базису прийнято позначати . Кожний вектор єдиним образом зображується у вигляді

.

Числа , , називають координатами вектора в базисі .

Розглянемо деяку вісь в просторі і нехай – кути, які вона утворює в просторі з осями координат (рис. 2.5).

Числа , , – називаються напрямними косинусами цієї осі.

Напрямні косинуси зв’язані співвідношенням:

.

Сума квадратів напрямних косинусів будь-якої осі дорівнює одиниці.

Довжина вектора

Нехай – проекції вектора відповідно на осі , тоді довжина вектора дорівнює

.

Якщо початок вектора міститься в точці , а кінець – в точці , то , , . Тоді довжина вектора дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його проекцій

.

2. Лінійні дії з векторами в координатній формі.

Скалярний добуток векторів