Лекции по АиГ / Alg_07

Векторные пространства.

Определение и примеры векторных пространств.

Понятие векторного пространства – одно из основных понятий линейной алгебры. В приложениях оно возникает в самых разнообразных ситуациях. Чтобы охватить все эти случаи удобно дать определение векторного пространства в форме системы аксиом. Эти аксиомы постулируют те простейшие свойства векторов (элементов векторного пространства), которые необходимы, чтобы к их изучению можно было применить общие теоремы о векторных пространствах.

Пусть k – произвольное числовое поле. Множество V = V_k называется векторным пространством над полем k, если для элементов этого множества определенны линейные операции сложения и умножения на скаляр из поля k, которые удовлетворяют следующим условиям (аксиомам векторного пространства).

Аксиомы сложения векторов:

А1. (u+v)+w = u+(v+w)

A2. u+v = v+u

A3. u+O = u

A4. u+(-u) = O

Аксиомы умножения на скаляр:

A5. l(mu) = (lm)u

A6. 1u = u

Аксиомы, связывающие сложение и умножение на скаляр:

A7. l(u+v) = lu+lv

A8. (l+m)u = lu+mu

Отметим, что векторное простраство не может быть пустым множеством, поскольку по А3 .

Приведем основные примеры векторных пространств. Во всех этих примерах проверка аксиом выполняется тривиально.

1. Пространства геометрических векторов: Эти пространства изучались в первом семестре; в действительности именно свойства операций над геометрическими векторами обобщены выше в системе аксиом А1-А8.

2. Координатное n-мерное пространство kⁿ. Элементами этого пространства являются столбцы , которые складываются и умножаются на скаляр покомпонентно. Элементом O, о котором идет речь в аксиоме А3, является нулевой вектор, у которого все компоненты равны 0; противоположный вектор (А4) определяется как столбец, у которого все компоненты противоположны компонентам исходного столбца.

3. Пространство матриц заданного размера Mat_m´n(k). Этот пример обобщает предыдущий (векторы- матрицы с 1 столбцом!). Линейные операции над матрицами определяются обычным образом.

4. Пространство F(X, k) функций на множестве X со значениями в поле k. При выполнении линейных операций над функциями складываются и умножаются на k их значения. Нулевым вектором этого пространства является функция тождественно равная 0. Заметим, что пространство kⁿ можно рассматривать как множество F(X, k), где X состоит из n элементов, так что этот пример также обобщает пример 2.

5. Пространство последовательностей S(k). Элементами этого пространства являются бесконечные последовательности s = {s₁, s₂, …, s_n, …}, где s_iÎk. Линейные операции над последовательностями выполняются почленно. S(k) можно рассматривать как пространство функций на множестве N = {1, 2, …, n, …}натуральных чисел.

6. Пусть K – некоторое числовое поле, причем KÉk. Поскольку в поле K, определены операции сложения и умножения, то, в частности, определено умножение “вектора” uÎK на “скаляр” lÎk и сложение двух “векторов”. Таким образом, большее поле K можно рассматривать как векторное пространство над меньшим полем k.

7. В примерах 3, 4 и 5 поле k можно заменить на любое векторное пространство V_k. Таким образом, возникают пространство матриц Mat_m´n(V_k), функций F(X, V_k) и последовательностей S(V_k) с векторными элементами.

Простейшие следствия из аксиом.

Выведем из аксиом А1-А8 следствия, которые распостраняют хорошо известные из векторной алгебры свойства геометрических векторов на элементы любого векторного пространства

Теорема.

В любом векторном пространстве имеют место следующие утверждения:

Т1 (Единственность нуля). Элемент O, удовлетворяющий А3, определен однозначно.

Т2 (Закон сокращения). u+v = u+w Þ v = w.

Т3 (Единственность противоположного элемента). Для каждого вектора u противоположный вектор, удовлетворяющий А4, определен однозначно.

Т4 (Признак нулевого вектора). .

Т5 (Существование операции вычитания векторов). Для любых векторов u,v уравнение v+x = u имеет и притом единственное решение, называемое разностью u-v векторов u и v.

Т6 (Свойства нулевого вектора). Имеют место следующие утверждения:

А) 0u = O.

B) lO = O.

C) lu = O Þ l = 0, или u = O.

Т7 (Выражение для противоположного вектора). (-1)u = -u.

Т8 (Распределительные законы для разности).

A) l(u-v) = lu-lv.

B) (l-m)u = lu-mu.

Доказательство.

Т1) Пусть элементы О₁ и О₂ удовлетворяют А3. Тогда:

О₁=(А3)=О₁+О₂=(А2)=О₂+О₁=(А3)=О₂.

Т2) u+v = u+w Þ (-u)+(u+v) = (-u)+(u+w)Þ(А1)Þ((-u)+u)+v = ((-u)+u)+wÞ (A2) Þ (u+(-u))+v = (u+(-u))+w Þ (A4) Þ O+v = O+w Þ (A2) Þ v+O = w+O Þ (A3) Þ v = w.

T3) Пусть элементы (-u)₁ и (-u)₂ удовлетворяют А4. Тогда:

u+(-u)₁ = O = u+(-u)₂ Þ (T2) Þ (-u)₁ = (-u)₂.

T4) u+v = u Þ (A3) Þ u+v = u+O Þ (T2) Þ v = O.

T5) Положим: x = (-v)+u. Тогда: v+x = (A1) = (v+(-v))+u = O+u = (A2) = u+O = u, что и требовалось. Если же v+x₁ = u = v+x₂, то по Т2: x₁ = x₂.

T6) Поскольку по (А6) 1u = u, имеем: u+0u = (A8) = (1+0)u = 1u = u. Остается применить Т4.

lu+lO = (A7) = l(u+O) = (A3) = lu. Применяем Т4.

Пусть lu = O и l¹0. Тогда существует l^-1. l^-1(lu) = l^-1О Þ (А5, T6B) Þ (l^-1l)u = O Þ 1u =O Þ (A6) Þ u = O.

T7) Имеем: u+ (-1)u = (A6) = 1u+(-1)u = (A8) = (1+(-1))u = 0u = (T6) = O = u+(-u). Остется использовать Т2.

Т8) Оставляем читателю добавить ссылки на нужные утверждения или аксиомы.

l(u-v) = l(u+((-1)v)) = lu+l((-1)v) = lu+(l(-1))v = lu+(-1)(lv) = lu-lv.

(l-m)u = (l+(-1)m)u = lu+((-1)m)u = lu+(-1)(mu) = lu-mu.

Подпространство векторного пространства.

Определение.

Пусть V_k – векторное пространство над полем k. Подмножество WÌV_k называется его подпространством, если относительно тех же операций, которые определены в V_k, оно само является векторным пространством над тем же полем.

Это означает, прежде всего, что W замкнуто относительно линейных операций, то есть:u,vÎW Þ u+vÎW и uÎW Þ luÎW.

Теперь отметим, что те из аксиом А1-А8, в формулировке которых речь идет о всех элементах из V_k, выполняются, в частности, для элементов из подмножества W. Аксиома А4 также имеет место в W, поскольку (-u) = (-1)u.

Для выполнения А3 достаточно потребовать, чтобы W¹Æ, так что . В этом случае и 0u = ОÎW. Следовательно, непустое подмножество WÌV_k будет подпространством в точности тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций.

Рассмотрим некоторые примеры подпространств.

1. Если выбрать некоторую плоскость в геометрическом пространстве, а в этой плоскости некоторую прямую, то

2. Многочлены степени не выше n образуют подпространство k_n[x]Ìk[x].

3. Наименьшим из подпространств любого пространства V_k является нулевое подпространство {O}ÌV_k. Наибольшим из подпространств будет все пространство V_kÌV_k. Если u некоторый вектор, то любое подпространство, содержащее u, содержит и все векторы вида lu. Обратно, множество {lu; lÎk} = <u> будет подпространством V_k. Таким образом, <u>ÌV_k – наименьшее из подпространств, содержащих вектор u. Аналогично, множество всевозможных линейных комбинаций {l₁u₁+l₂u₂+…+l_nu_n; l_iÎk} данной системы векторов образует подпространство <u₁, u₂,…, u_n> , называемое их линейной оболочкой. Это – наименьшее из подпространств, содержащее данные векторы.

4. Пусть x₀ÎX. Множество функций f:X®k, удовлетворяющих условию f(x₀) = 0, образует подпространство WÌF(X, k). Для того, чтобы получить подространство можно наложить и условие типа f(x₁) = 3f(x₂) для двух точек x₁,x₂ÎX или даже несколько таких условий. Отметим, что множество функций, удовлетворяющих условию f(x₀) = 1 не образует подпространства. Если в качестве X выбрать интервал (a, b), а в качестве поля k – поле R действительных чисел, то можно образовать подпространство C(a, b) непрерывных или подпространство D(a, b) дифференцируемых функций. Поскольку коэффициенты многочлена степени меньше n однозначно определяются его значениями в n точках (в силу единственности интерполяционного многочлена Лагранжа), можно рассматривать k[x] как подпространство F(X, k) для любого бесконечного подмножества XÌk.

5. Пусть AÎMat_m´n(k). Множество векторов v, удовлетворяющих условию Av = 0, образует подпространство координатного пространства kⁿ, называемое подпространством решений однородной системы линейных уравнений с матрицей A. Заметим, что множество решение неоднородной системы не образует подпространства.

6. Если U,WÌV_k, то их пересечение UÇW также будет подпространством (оно не пусто, так как содержит О). Объединение двух подпространств может и не быть подпространством. Вместо объединения в теории векторных пространств рассматривают сумму U+W, которая состоит из всевозможных векторов вида u+w, где uÎU, wÎW. Сумма является наименьшим из подпространств, содержащих как U так и W. Отметим, что по определению <u₁, u₂,…, u_n> = .

Изоморфизм векторных пространств.

Свойства, которыми обладают элементы конкретного векторного пространства и само это пространство вцелом, бывают двух типов – общие и частные. Общее свойство представляет собой теорему, в формулировке которой участвуют лишь векторы из данного пространства, а из операций используются только линейные операции над ними. Скажем, теорема о том, что любые два вектора пространства линейно зависимы, является общим свойством этого пространства, а теорема Гаусса о существовании корня многочлена – частным свойством векторного пространства C[x]. В аксиоматической теории векторных пространств, которую мы сейчас строим, имеют смысл лишь общие свойства этих пространств. Два векторных пространства, которые обладают одинаковыми общими свойствами, мы должны считать неразличимыми с абстрактной точки зрения или изоморфными.

Дадим теперь точное определение этого понятия. Два векторных пространства U и V над одним и тем же полем k называются изоморфными, если между множествами U и V можно установить такое взаимно однозначное соответствие , при котором выполняются условия: и . Здесь строчными буквами обозначены векторы из U, а прописными – из V. Можно сказать, что изоморфизм – это такое взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет линейные операции над векторами. Изоморфизм двух векторных пространств обозначается так: U @ V. Приведем примеры изоморфных пространств.

1. Пространство геометрических векторов и n – мерное координатное пространство Rⁿ изоморфны при n = 1, 2, 3. Для построения изоморфизма выберем базис в пространстве геометрических векторов и сопоставим каждому вектору vÎ столбец из его координат в этом базисе.

2. Пространства матриц Mat_m´n(k) и Mat_n´m(k) изоморфны. Изоморфизм задается формулой: f(A) = A^t.

3. k_n[x] @ kⁿ⁺¹. Изоморфизм можно строить разными способами. Можно, например, каждому многочлену a₀+a₁x+…+a_nxⁿ сопоставить столбец из его коэффициентов. Другой способ – сопоставить каждому многочлену pÎk_n[x] столбец , где aÎk – любой элемент.

4. C_R @ . Этот изоморфизм нам уже встречался как “геометрическая модель поля комплексных чисел”.

5. C(a, b) @ C(p, q). Изоморфизм можно построить, например, сопоставляя каждой непрерывной на (p, q) функции f(x) функцию , непрерывную на (a, b).

Замечание.

Отношение изоморфности между векторными пространствами обладает теми же свойствами, что и отношение равенства, а именно:

Рефлексивность: U @ U.

Симметричность: U @ V Þ V @ U.

Транзитивность: U @ V, V @ W Þ U @ W.