Лекции по АиГ / Alg_05

Перестановки.

1. Определение Перестановкой w степени n называется последовательность , в которой каждое из чисел 1, 2, …,n встречается ровно 1 раз. Множество всех перестановок степени n обозначается . Очевидно, что || = n!. Перестановка, задаваемая последовательностью 1, 2, …,n называется тождественной и обозначается буквой e. Пусть w - некоторая перестановка и s – любое целое от 1 до n. По определению существует единственное i такое, что w_i= s. Положим и назовем w^-1 перестановкой обратной к w. Очевидно, что (w^-1)^-1 = w. Отметим, что e^-1 =e.

2. Беспорядки. Пусть дана последовательность s₁, s₂ … без повторяющихся элементов. Два элемента s_i и s_j последовательности образуют беспорядок, если выполнены условия: . Обозначим через d(w) (disorder) число беспорядков в перестановке w. Очевидно, что d(e) = 0. Нетрудно видеть, что d(w^-1) = d(w). В самом деле, если w_i=s, w_j=t, то и наличие беспорядка в каждой из этих перестановок определяется условиями: .

3. Знак перестановки. Знак перестановки определяется по формуле: e(w)=(-1)^d(w) . Перестановки со знаком (+1) называются четными, а со знаком (-1) – нечетными. Множество всех четных перестановок степени n обозначается , а нечетных - . Как следует из п.2, e(e) = 1 и e(w^-1) = e(w).

4. Транспозиции. Транспозицией называется перемена местами 2 элементов перестановки. Теорема. Транспозиция меняет четность перестановки на противоположную. Доказательство. Пусть транспозиция меняет местами числа w_i и w_j, причем i < j и после ее выполнения возникает перестановка . Рассмотрим вначале случай, когда j = i + 1, так что числа, которые мы хотим поменять местами, стоят рядом. Пусть . Обозначим через d_P,Q число беспорядков в перестановке w, которые имеют место между теми ее членами w_s и w_t , для которых sÎR, tÎQ. Положим P = {1, 2, …, i-1}, Q = {i, i+1} R = {(i+2), (i+3), …, n}. Число беспорядков в перестановке w можно посчитать по формуле: d = d_P,P+d_R,R+d_P,Q+d_P,R+d_Q,R+d_Q,Q. Аналогичная формула имеет место и для перестановки , причем первые пять слагаемых будут те же, что и для w, а последнее будет отличаться от d_Q,Q ровно на 1 (в меньшую или большую сторону). Тем самым в рассматриваемом случае теорема доказана. Пусть теперь j > i + 1. Рассматриваемую транспозицию можно получить, последовательно переставляя стоящие рядом числа w_i и w_i+1, затем w_i+1 и w_i+2 и так далее до w_j-1 и w_j .После этого надо снова выполнить те же перестановки в обратной последовательности, начиная с предпоследней. Всего придется совершить 2(j – i) –1 перестановок и каждый раз четность будет меняться на противоположную. Отсюда и вытекает доказываемый результат.

5. Замечания.

   1. Любая перестановка может быть получена из тождественной с помощью нескольких транспозиций.

   2. При n > 1 || =||. В самом деле, пусть t транспозиция, меняющая местами w₁ и w₂. Тогда соответствие является взаимно однозначным между множествами и .