Лекции по АиГ / Alg_08

Векторные пространства (продолжение).

Линейная зависимость.

Система S (конечное множество) векторов (v₁, v₂,…, v_n) пространства V_k называется линейно зависимой, если можно указать такой ненулевой набор (l₁, l₂,…, l_n) скаляров из поля k, что . В противном случае система будет линейно независимой. Это означает, что из равенства следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации – нулевые. Фактически это понятие уже неоднократно появлялось у нас в курсе. Так, например, система из 2 геометрических векторов на плоскости линейно зависима в том и только в том случае, когда эти векторы коллинеарны. Аналогично, линейная зависимость системы из 3 геометрических векторов пространства означает в точности их компланарность.

Отметим некоторые общие свойства линейно зависимых систем.

Теорема.

1. Система, состоящая из одного вектора v, линейно зависима тогда и только тогда, когда v = O.

2. Система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

3. Если S₁Ì S₂ и S₁ линейно зависима, то и S₂ будет линейно зависимой системой.

Доказательство.

1. 1×О = O. Обратно: lv = O, l ¹ 0 Þ v = O.

2. Пусть и l_p ¹ 0. Тогда: . Обратно, если , то .

3. По условию . Но тогда , что и требовалось.

Базисы и размерность векторного пространства.

Назовем систему векторов S пространства V_k порождающей, если <S> = V_k, то есть, если любой вектор пространства можно записать в виде линейной комбинации векторов системы S. Порождающая система называется минимальной, если при исключении из нее любого вектора она перестает быть порождающей. Линейно независимая система S называется максимальной в пространстве V_k , если она становится зависимой при добавлении любого вектора этого пространства.

Теорема.

1. Линейно независимая система является порождающей тогда и только тогда, когда она максимальна.

2. Порождающая система является линейно независимой тогда и только тогда, когда она минимальна.

Доказательство.

Пусть система S линейно независима, но не является порождающей. Тогда можно выбрать vÎ V_k\<S>. Докажем, что система <S, v> линейно независима. Допустим, что . Если l¹0, то вектор v можно записать в виде линейной комбинации векторов системы S, что противоречит способу его выбора. Следовательно, l = 0, откуда следует, что , а тогда и все коэффициенты l_k нулевые, поскольку S – линейно независима. Мы видим, что большая система <S, v> линейно независима и потому S не является максимальной. Обратно, если S не максимальна, то к ней можно добавить вектор v и при этом система <S, v> останется линейно независимой. Значит, вектор v не является линейной комбинацией векторов системы S и потому эта система не является порождающей.

Пусть теперь S – порождающая система и она линейно зависима. Тогда один из векторов этой системы (пусть v₁) является линейной комбинацией остальных векторов. Значит, если исключить из S вектор v₁, то система останется порождающей и потому она не минимальна. Обратно, если S не минимальна, то она остается порождающей при исключении из нее вектора v. Значит, этот вектор v можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов и потому система S линейно зависима.

Определение.

Базисом (e) векторного пространства V_k называется любая максимальная линейно независимая система (или, что означает то же самое, минимальная порождающая система) векторов этого пространства, заданных в определенном порядке: e = (e₁,…e_n).

Базис e удобно рассматривать как матрицу E размера 1´n с векторными элементами.

Поскольку базис порождает все пространство, любой вектор vÎ V_k можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов (разложить по базису): . Если вектор допускает еще одно разложение по базису , то и, ввиду линейной независимости базисных векторов, . Итак, коэффициенты этой линейной комбинации определены однозначно. Они называются координатами вектора в данном базисе, что записывается так: . Разложение вектора по базису можно записать в матричной форме: v = Ev_e. Очевидно, что и .

Наличие этих свойств означает, что если в пространстве V_k выбран базис (e) =(e₁,…e_n), то взаимно однозначное соответствие v ® v_e сохраняет операции и потому является изоморфизмом V_k @ kⁿ.

Теорема.

Если в пространстве V_k существует базис из n векторов, то любые m>n векторов этого пространства линейно зависимы.

Доказательство.

Можно считать, что V_k = kⁿ. Пусть v₁, v₂,…, v_mÎkⁿ – система векторов-столбцов. Составим из этих столбцов матрицу A = (v₁, v₂,…, v_m) и дополним ее (m-n) нулевыми строками до квадратной матрицы A₁. Поскольку det(A₁) = 0, один из столбцов этой матрицы является линейной комбинацией остальных. Отсюда и вытекает линейная зависимость векторов.

Следствие 1.

Если в векторном пространстве существуют базисы, то они состоят из одинакового числа векторов.

В самом деле, если первый базис состоит из n векторов, а второй из m>n векторов, то, применяя доказанное утверждение, пролучаем, что вторая система векторов линейно зависима и потому быть базисом не может.

Число векторов любого базиса пространства V_k называется размерностью векторного пространства и обозначается dim V_k.

Следствие 2.

Если в векторном пространстве существует базис, то любая линейно независимая система может быть дополнена до базиса.

В самом деле, если система S линейно независима, но не максимальна, то ее можно дополнить некоторым вектором до большей линейно независимой системы S₁. К полученной системе применимо такое же рассуждение, так что процесс расширения системы можно продолжить. Он завершится тогда, когда вновь построенная система будет содержать dim V_k векторов, которые и образуют базис, содержащий систему S.

Обсудим теперь вопрос о существовании базиса данного векторного пространства. Исключим сначала тривиальный случай V_k = {O}. Базисом этого пространства по определению считается пустая система векторов: S = Æ, так, что dim{O}= 0. Во всех прочих случаях из векторов пространства можно строить непустые линейно независимые системы. Либо среди этих систем найдется максимальная, которая и будет базисом, либо количество векторов в такой системе может быть любым и тогда базиса не существует. Пространства, в которых существуют независимые системы из любого числа векторов, называются бесконечномерными, в отличие от конечномерных пространств, в которых существует базис.

Следствие 3.

Подпространство W конечномерного пространства V само будет конечномерным и dim W £ dim V, причем равенство имеет место только в случае W = V.

Линейно независимые системы векторов пространства V не могут состоять более чем из dim V векторов. Следовательно, среди независимых систем векторов подпространства W имеются максимальные, и потому W конечномерно и его размерность не больше, чем у V. Базис подпространства W представляет собой линейно независимую систему S векторов из V, которую можно дополнить до базиса V. Если dim W = dim V, то расширять S не придется и потому <S> = V = W.

Теорема.

Два конечномерных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Доказательство.

Поскольку утверждение dim V_k = n является общим свойством векторного пространства, два пространства разной размерности не могут быть изоморфными. Наоборот, если dim V_k = dim U_k = n, то, по доказанному выше, V_k @ kⁿ и U_k @ kⁿ, а значит V @ U.

Приведем примеры конечно- и бесконечномерных пространств и их базисов.

1. Как уже отмечалось, любой ненулевой вектор vÎ, любые 2 неколлинеарных вектора (v₁, v₂) из , любые 3 некомпланарных вектора (v₁, v₂, v₃) из образуют базисы в указанных пространствах.

2. В пространстве kⁿ рассмотрим систему из n векторов-столбцов, а именно столбцы единичной матрицы (e) = (e₁, e₂, …, e_n). Очевидно, что . Отсюда непосредственно вытекает, что система (e) является порождающей и линейно независимой, а потому образует базис, называемый стандартным базисом kⁿ.Для этого базиса имеем: v = v_e.

3. Поле комплексных чисел C, рассматриваемое как векторное пространство над полем R действительных чисел, имеет базис из 2 элементов e₁ = 1 и e₂ = I. Разложение вектора по этому базису совпадает с “алгебраической формой записи” комплексного числа: z = x+Iy. Dim C_R =2.

4. Базис в пространстве матриц Mat_m´n(k) можно построить, упорядочив каким-либо образом набор матриц {E_ij i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n}, все элементы которых равны 0, за исключением (E_ij)_ij = 1. Таким образом, dim Mat_m´n(k) = mn.

5. Как уже отмечалось, k_n[x] @ kⁿ⁺¹ и потому имеет размерность n+1. Базис составляют, например, многочлены e₀ = 1, e₁ = x, …, e_n = xⁿ. Поскольку k[x]Ék_n[x] для всех n, пространство многочленов всех степеней k[x] бесконечномерно. Отсюда, разумеется, вытекает бесконечномерность пространств F(X, k) для всякого бесконечного множества X, а также C(a, b) и D(a,b).

Замечание.

Два бесконечномерных пространства не обязательно изоморфны между собой. Так, например, можно доказать, что пространства многочленов Q[x] и R[x] не изоморфны. Другой пример – пространство всех функций F((a, b), R) на интервале (a, b) и пространство непрерывных функций C(a, b) на этом же интервале. В каждом из этих примеров не существует даже взаимно однозначного соответствия между элементами этих пространств.