Лекции по АиГ / Alg_10

Линейные отображения и операторы.

Определение.

Линейным отображением векторного пространства U_k в пространство V_k называется такое отображение f множества U в V, которое сохраняет линейные операции над векторами, то есть f(u₁+u₂) = f(u₁)+f(u₂) и f(lu) =lf(u). Если пространства U_k и V_k совпадают, то f называется линейным оператором.

Примеры.

1. Нулевое отображение O : U® V, переводящее все векторы из U в нулевой вектор очевидно является линейным. Линейным будет и тождественный оператор id : U® U, который не меняет ни одного вектора из U.

2. Пусть AÎMat_m´n(k) и отображение f: kⁿ® k^m задано формулой: f(x) = Ax. Поскольку A(x₁+x₂) = Ax₁+Ax₂ и A(lx) = l(Ax), отображение f – линейное. Если матрица A – квадратная, то f – линейный оператор.

3. Пусть v - любой фиксированный вектор. Положим: f(x) = x´v (векторное произведение векторов). Тогда - линейный оператор, поскольку векторное умножение обладает свойствами линейности.

4. Пусть YÌ X – любое подмножество. Отображение ограничения j: F(X, k)® F(Y, k), которое каждой функции, определенной на множестве X ставит в соответствие эту же функцию, но с областью определения Y, очевидно является линейным.

5. Пусть задан некоторый набор x₁,…, x_p элементов множества X. Отображение w: F(X, k)® k^p, определенное формулой будет линейным.

6. Дифференцирование : D(a, b)® F((a, b), R), заданное формулой (f(t)) = и интегрирование I : C[a, b]® R, определенное формулой I(f) = - линейные отображения. Здесь R рассматривается как векторное пространство R¹.

Определение.

Пусть f : U® V – линейное отображение. Определим подмножества Ker f ÌU и Im f ÌV правилами: xÎKer f Û f(x) = 0; yÎIm f Û $(xÎU): f(x) = y. Множество Ker f называется ядром, а Im f – образом линейного отображения.

Теорема (свойства линейных отображений).

Для любого линейного отображеня f : U® V:

1. f(O) = O.

2. Ядро и образ f являются подпространствами соответствующих векторных пространств.

3. f отображает различные векторы пространства U в различные векторы V (то есть является инъективным отображением) тогда и только тогда, когда Ker f = {O}.

4. f отображает U на все пространство V (то есть является сюръективным) тогда и только тогда, когда Im f = V.

Доказательство.

1. По свойству линейности f(O) = f(0*O) = 0*f(O) = O.

2. Ker f и Im f содержат О и потому не пусты. Следовательно, достаточно проверить их замкнутость относительно линейных операций. Если x, x₁, x₂ ÎKer f, то f(x₁+x₂) = f(x₁)+f(x₂) = O+O =O и f(lx) = lf(x) =lO = O. Тем самым x₁+x₂, lx ÎKer f. Аналогично, если y, y₁, y₂ ÎIm f и y = f(x), y₁ = f(x₁), y₂ = f(x₂), то y₁+y₂ = f(x₁+x₂) и ly = f(lx), так что y₁+y₂, ly ÎIm f.

3. Если ненулевой вектор v входит в Ker f, то f(v) =f(O), что противоречит инъективности. Обратно, если Ker f = {O} и f(x₁) = f(x₂), то f(x₁-x₂) = O и значит x₁-x₂ÎKer f, а потому x₁-x₂ = O, что и требовалось.

4. Очевидно.

Замечание 1.

Если для линейного отображения выполнены оба условия 3 и 4, то это отображение взаимно однозначно, а так как оно сохраняет операции над векторами, то это – изоморфизм.

Замечание 2.

Если для линейного отображения f : U® V пространство U конечномерно, то подпространство Ker f ÌU очевидно также конечномерно. Конечномерным будет в этом случае и подпространство Im f ÌV поскольку оно порождается конечной системой векторов f(e), где е – любой базис пространства U.

Множество всех линейных отображений пространства U_k в пространство V_k обозначается L(U, V). Это множество наделяется структурой векторного пространства над k как подпространство пространства всех отображений F(U, V). Роль нулевого вектора играет нулевое отображение.

Матрица линейного отображения и оператора.

Пусть j - линейное отображение конечномерного пространства U в конечномерное пространство V. Допустим, что в U выбран базис e = (e₁,…,e_n), а в V базис h = (h₁,…, h_m). Построим матрицу A = A_h,e(j) из векторов-столбцов (j(e₁))_h,…, (j(e_n))_h размера m´n. Она называется матрицей линейного отображения в базисах h,e. Если U = V и e = h, то квадратная матрица A = A_e(j) называется матрицей линейного оператора в базисе e. Оказывается, что матрица полностью определяет соответствующее линейное отображение.

Теорема.

Для любого uÎU имеет место формула: (j(u))_h = Au_e.

Доказательство.

Введем однострочную матрицу j(e) = (j(e₁),…, j(e_n)). По определению матрицы линейного отображения j(e) = hA. Так как u = eu_e и отображение j линейно, имеем: j(u) = j(e)u_e = hAu_e. Но, по определению, j(u) = h(j(u))_h. Ввиду единственности разложения вектора по базису, отсюда и вытекает доказываемое равенство.

Замечание.

Если BÎMat_m´n(k) – любая матрица, то отображение y : kⁿ® k^m, определенное равенством (y(u))_h = Bu_e, очевидно является линейным.

Таким образом, если каждому линейному отображению сопоставить его матрицу в выбранных базисах, то возникает взаимно однозначное отображение s_h,e : L(U,V)® Mat_m´n(k).

Теорема.

Отображение s_h,e задает изоморфизм векторных пространств L(U,V) и Mat_m´n(k). Если заданы два линейных отображения UV и VW и в этих пространствах выбраны базисы e, h и g, то матрица композиции отображений s_{g, e}(a·b) равна произведению матриц s_{g, h}(a)s_{h, e}(b)

Доказательство.

Пусть f, g – два линейных тображения пространства U в пространство V. Тогда:

c_k(A_{h, e}(f+g)) = ((f+g)(e_k))_h = (f(e_k))_h+(g(e_k))_h = c_k(A_{h, e}(f))+ c_k(A_{h, e}(g)) = c_k(A_h,e(f))+ A_{h, e}(g)). Аналогично проверяется, что c_k(A_{h, e}(lf)) = l c_k(A_{h, e}(f)). Эти равенства означают линейность отображения s_{h, e} Поскольку s_{h, e} к тому же и взаимно однозначно, оно является изоморфизмом.

Пусть отображение a задается матрицей A, а отображение b - матрицей B. По определению a(h) = gA, b(e) = hB. Тогда имеем: (a·b)(e) = a(b(e)) = b(hB) = b(h)B = gAB. Следовательно, A_{g, e}(a·b) = AB, что и требовалось доказать.

Замена базисов.

Пусть в пространстве U наряду с базисом e выбран новый базис , а в пространстве V – новый базис . Обозначим через S и T матрицы перехода к новым базисам: . Для линейного отображения j: U® V рассмотрим его матрицы A и в старых и новых базисах: j(e)_h = A, .

Теорема.

B = T^-1AS.

Доказательство.

= AS. С другой стороны, используя формулу изменения координат вектора при переходе к новому базису, получаем:

= T^-1AS, что и требовалось.

Следствие.

Для линейного оператора j: U® U имеет место формула: B = S^-1AS.

Определение.

Две матрицы A, BÎMat_m´n(k) называются эквивалентными, если существуют две невырожденные квадратные матрицы P и Q, такие, что B = PAQ.

Поскольку матрицы P^-1 и Q можно рассматривать как матрицы замены базиса в пространствах k^m и kⁿ соответственно, эквивалентные матрицы – это матрицы одного и того же линейного отображения в разных базисах. Если C = PA, то С получается из А элементарными преобразованиями строк (А и С строчно эквивалентны; эту эквивалентность мы широко использовали ранее). Поскольку равенство B = CQ равносильно равенству B^t = Q^tC^t, то B получается из C элементарными преобразованиями столбцов. Следовательно, эквивалентные матрицы получаются друг из друга элементарными преобразованиями строк и столбцов.

Определение.

Две квадратные матрицы A, BÎMat_m´m(k) называются подобными над k, если существует такая невырожденная матрица S с элементами из k, что B = S^-1AS. Подобные матрицы можно рассматривать как матрицы одного и того же оператора в разных базисах. Подобные матрицы эквивалентны, но обратное не верно.

Ранг линейного отображения

Определение.

Рангом rk f линейного отображения f : U® V называется размерность образа этого отображения: rk f = dim Im f.

Как уже отмечалось, эта размерность конечна, если пространство U конечномерно.

Теорема.

Если оба пространства U и V конечномерны, то ранг линейного отображения совпадает с рангом матрицы этого отображения в любых базисах.

Доказательство.

Если e₁, …, e_n – базис U, h₁, …, h_m – базис V, то Im f = <f(e₁), …, f(e_n)>. Следовательно, rk f = dim Im f = dim <f(e)_h> = rkA_{h, e}(f).

Следствие.

Эквивалентные матрицы имеют одинаковый ранг.

Теорема.

Пусть f : U® V линейное отображение ранга r, dim U = n, dim V = m. Можно выбрать такие базисы e в пространстве U и h в пространстве V, что A_{h, e}(f) = U_r = , где E_r – единичная матрица порядка r. При этом векторы h₁,…, h_r составляют базис в пространстве Im f, а векторы e_r+1,…, e_n– в пространстве Kerf.

Доказательство.

Надо проверить, что произвольную матрицу AÎMat_m´n(k) можно привести к указанному в теореме простейшему виду U_r элементарными преобразованиями строк и столбцов. В начале, используя преобразования строк приведем A к главному ступенчатому виду Г. Как нам известно, все столбцы Г линейно выражаются через базисные. Следовательно, вычитая из каждого неглавного столбца подходящую линейную комбинацию главных столбцов, можно получить нулевой столбец. Остается переставить столбцы матрицы таким образом, чтобы главные (ненулевые) были расположены левее неглавных (нулевых) столбцов.

Пусть базисы e, h выбраны таким образом, что A_{h, e}(f) = U_r. По определению матрицы линейного отображения имеем: f(e_i) = h_i при i = 1,…,r; f(e_j) = 0 при j>r. Если x = ÎKer f, то f(x) = = 0. Следовательно, l₁ = …= l_r = 0 и x = . Поскольку векторы e_r+1,…, e_n линейно независимы как подсистема системы e, то они действительно составляют базис Ker f.

Если yÎIm f и y = f(x), где x = , то y = , откуда следует утверждение о базисе Im f.

Следствие 1.

Две матрицы A и B одного размера эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые ранги.

Уже было отмечено, что ранги эквивалентных матриц совпадают. Обратно, если rkA = rkB = r, то обе матрицы эквивалентны одной и той же простейшей матрице U_r, а потому они эквивалентны и между собой.

Следствие 2.

Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

В самом деле, если rkA = r, то существуют невырожденные матрицы P и Q такие, что PAQ = U_r. Но тогда Q^tA^tP^t = (U_r)^t. Остается заметить, что матрицы Q^t и P^t также невырожденны и (U_r)^t = U_r.